Problemas para el verano
Las vacaciones son un buen momento para dedicar ratos a resolver problemas, especialmente para aquellos que buscamos lugares tranquilos, ya sea en el mar o en la montaña, para pasar unos días sin nada especial para hacer, más allá de leer, pasear o encontrarse con los amigos en una comida veraniega. Los problemas que constituyen esta colaboración tienen ese aire y por ello son de campos y niveles bastante diferentes, pero tienen en común la idea de reto, a veces de adivinanza, propio de las situaciones lúdicas y placenteras.
Así el lector encontrará un problema de demostración sobre una curiosa sucesión numérica, el cálculo del área de un cuadrilátero especial, la determinación de un razonamiento lógico en un problema de sombreros, la deducción de un fórmula que relaciona la cantidad de elementos de una red y aún, un problema de movimiento que se puede resolver razonando matemáticamente y sin hacer ningún tipo de cálculo. Acabaremos el artículo con una interesante situación geométrica generadora de bonitos problemas.
Partiremos con algunos problemas extraídos de la amplia colección de la pruebas canguro que cada año se realiza en muchos países del mundo y en la que participan cientos de miles de estudiantes. Esta colección, que con los años se ha convertido en una enorme fuente de problemas, esconde pequeños tesoros como algunos de los problemas siguientes.
Antes de plantear el primer problema hay que definir los elementos que constituyen una red rectangular formada por cuadrados - que nos remite, entre otras cosas a un tablero- y cuáles son sus elementos (ver dibujo): mallas (regiones – o cuadrados – de la red), nudos (vértices interiores) y bolas (vértices de la frontera). En estas condiciones el problema consiste en determinar cuántas mallas contiene una red que tiene exactamente 32 nudos y 28 bolas. Aunque este primer reto es cerrado (de solución única) y bastante sencillo, la situación permite generar otros problemas interesantes, a través del estudio de la relación entre el número de mallas, de nudos y de bolas.
Dibujo 1: Red con 28 mallas (regiones), 18 nudos (vértices interiores) y 22 bolas (vértices exteriores) |
Problema 1.
Más que un problema concreto propongo que tome la situación anterior para tratar de encontrar relaciones numéricas entre las distintas cantidades de elementos. Considérese primero el número de vértices, regiones y lados: se trata de la conocida fórmula de Euler pero en el plano, sencilla de conjeturar pero un poco más difícil de demostrar. Después, deje al margen los lados y céntrese en regiones y vértices, distinguiendo en estos últimos los nudos y las bolas: Dado el número de nudos (o el de bolas), ¿cuántas redes diferentes se pueden formar? Si conocemos la cantidad de dos de los tres elementos (mallas, nudos y bolas), ¿la red queda determinada? En general, qué forma tendrá la expresión que permite relacionar las cantidades de estos elementos en una red?
Si ha llegado hasta aquí, seguro que se podrá plantear, si no lo ha hecho ya, otras preguntas interesantes en torno a esta situación.
También los encuentros estivales son propicios para proponer acertijos, entretenimientos o juegos lógicos alrededor de una mesa. Hace unos días, en una cena familiar en Begur, mi sobrina Karo, sociología y aficionada a las recreaciones matemáticas, me propuso un problema que yo no conocía y que pertenece al grupo de problemas recreativos que podríamos titular: adivina el color del sombrero que llevas. El enunciado es el siguiente.
Problema 2.
Un grupo de 30 prisioneros deben pasar una prueba: adivinar el color del sombrero (blanco o negro) que llevan puesto y que no pueden ver. Si lo adivinan serán liberados; si no serán ejecutados. Antes de decir el color del sombrero, se pondrán todos en fila y cada uno verá los sombreros de todos los que tiene delante en la fila, pero no el suyo ni los de atrás. Comenzará a decir el color de su sombrero el que ocupa el último lugar en la fila, después el 29º y así sucesivamente hasta el primero. Los sombreros, blancos o negros, se pondrán al azar y durante la prueba ningún prisionero podrá decir nada más que el nombre del color del sombrero (nombre que podrán oír todos los demás), cuando sea su turno.
La noche antes de la prueba, cuando todos los prisioneros conocen las condiciones, se reúne todo el grupo para intentar buscar una estrategia que les permita minimizar el número de ejecuciones; tras pensar un rato encuentran una que les permitirá salvarse todos menos uno, que tendrá una probabilidad del 50% de salvarse.
¿Sabría encontrar esta estrategia? Si varía el número de prisioneros, ¿se puede aplicar igualmente, o hay que hacer alguna modificación?
El siguiente problema es una bonita situación geométrica que me propuso Laura Morera, compañera, amiga y líder de la asociación Explorium, que propongo porque disfruté mucho resolviéndolo. Como siempre, en este tipo de problemas se trata de encontrar una solución a partir de métodos geométricos elementales. Una vez que lo haya resuelto no le costará mucho hallar una generalización interesante.
Problema 3.
Consideramos un cuadrante de circunferencia, o si lo prefiere un sector circular de amplitud 90º, formado por dos radios y el arco de circunferencia correspondiente. Tomamos un punto P sobre el arco de circunferencia y trazamos los dos segmentos que unen P con los puntos donde los dos radios cortan la circunferencia. Si la medida de estos dos segmentos es 2 y 3 cm respectivamente, ¿cuál es el área del cuadrilátero formado por dos radios y estos dos segmentos?
Si con un dibujo (algo imprescindible para abordar el problema) no es suficiente, puede tomar Geogebra y pronto comenzará a hacer conjeturas interesantes sobre las relaciones entre los elementos de este curioso cuadrilátero. Incluso obsérvese que, en una de las posibles maneras de resolver el problema, se esconde un conocido teorema relacionado con el teorema de Pitágoras.
Seguiré el artículo con un par de problemas surgidos de la relectura del libro One Hundred Problems in Elementary Mathematics (Steinhaus, 1979), un interesante y variado conjunto de problemas de diferentes temas, que Hugo Dynoizy Steinhaus (1987-72) publicó inicialmente el 1964, y sobre los que Martin Gardner destacó su originalidad. El autor, de origen judío, es un reputado matemático polaco formado en la Universidad de Gotinga, donde leyó la tesis doctoral (1911) sobre el principio de Dirichlet, bajo la dirección de David Hilbert; terminada la segunda guerra mundial, la matemática polaca, de la que surgieron matemáticos como Banach que fue estudiante de Steinhaus y con quien colaboró. Además de un muy buen matemático que hizo contribuciones relevantes en campos muy diversos, se preocupó por temas relacionados con su enseñanza, a través de libros de problemas de carácter divulgativo y recreativo.
En la introducción de la primera edición del libro mencionado Steinhaus dice: "Con esta colección de problemas quiero apelar a lo que hay de niño en un científico y lo que hay de científico en un niño, aunque tal vez sólo he tenido éxito en pasármelo bien yo mismo."
Problema 4.
Construimos una sucesión de enteros de una sola cifra de la siguiente manera: empezamos con los números 2 y 3. Los multiplicamos y tenemos 6 (3er término). Multiplicamos 3 por 6 y obtenemos 18. El 4º término será 1 y el 5º será 8. La sucesión es hasta aquí: 2, 3, 6, 1, 8, y los últimos dígitos que hemos multiplicado son el 3 y el 6. Por tanto, ahora debemos multiplicar 6 • 1 = 6 (6º término); seguimos: 1 • 8 = 8 (7º cabo), y así sucesivamente. Siguiendo la sucesión tendremos:
2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, 4, 8, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2, ...
Para no equivocarse lo mejor es ir construyendo la sucesión y señalando los últimos números que hemos multiplicado, teniendo en cuenta que cada uno de ellos, salvo el 1º, forma parte de dos multiplicaciones consecutivas.
Puede observarse que en los veinte primeros términos ya han aparecido los números 1, 2, 3, 4, 6 y 8. La conjetura parece clara: los otros números de una cifra no aparecerán en la sucesión, aunque también puede haber otras conjeturas interesantes. ¿Sabría demostrar que no puede haber dos números impares consecutivos? Pruebe también que los dígitos que faltan (5, 7 y 9, y si desea también el 0) no aparecerán nunca en esta sucesión.
El problema, bastante sencillo después de pensar un rato, lleva a una interesante reflexión sobre los resultados que se obtienen en las tablas de multiplicar, en particular sobre las cifras que forman los números resultantes.
Acabaré este artículo con una situación geométrica generadora de múltiples problemas que me proporcionó el profesor de matemáticas Jordi Font con quien, además de compartir docencia en la formación de profesores de secundaria, comparto la afición por plantear y resolver problemas. La situación es la siguiente: tenemos una figura plana y un punto (que puede ser interior, exterior o sobre la frontera). Desde este punto podemos trazar una infinitud de rectas que pasan por él. ¿Cuál de estas rectas dividirá la figura en dos figuras iguales? Si no pueden ser iguales, por lo menos de la misma área.
Para un círculo la respuesta parece evidente: basta con trazar la recta que pasa por este punto y el centro del círculo y esta respuesta es válida para cualquier punto, tanto si es interior al círculo, exterior o sobre la circunferencia. ¿Sucede lo mismo con un cuadrado? ¿Y con un polígono regular cualquiera? ¿Habrá siempre una solución para cualquier figura plana y cualquier punto?
Esto es todo por hoy. Sólo deseo que pasen un rato agradable, un minuto, una hora o una tarde de verano, resolviendo estos problemas y, si es posible, que lo pasen tan bien como lo he pasado yo preparándolos.