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Estrategia, procedimiento, fórmula, algoritmo (II)


Artículo escrito por Guido Ramellini (Mmaca, Museu de Matemàtiques de Catalunya)

Como decíamos en el artículo anterior, la resolución de muchos retos matemáticos necesita un tratamiento ordenado de operaciones lógicas de diferente dificultad. Siempre se empieza por acciones sencillas, como por ejemplo la observación en busca de constantes o pautas, que permitan una clasificación y una ordenación en base a un criterio o una característica. Cuando estamos delante de un reto complejo, las siguientes acciones, siguiendo el decálogo de György Pólya, tienen el objetivo de intentar reducir dicha complejidad, afrontando, por ejemplo, situaciones con un número inferior de variables o bien utilizando operaciones modulares.

Como en los retos que expusimos en el artículo anterior, empezaremos con el enunciado del reto y junto a él algunas preguntas que orienten su resolución.

Todas las actividades que vamos a proponer pueden ser resueltas con lápiz y papel o con materiales manipulativos: fichas de colores, cartas de juego, monedas, piezas de construcciones...

El reto de los 100 prisioneros (adaptado de Peter Bro Miltersen)

Seguramente el más difícil de los tres retos propuestos en este artículo. Necesita ser analizado desde una perspectiva que abrace combinatoria y teoría de la probabilidad:

Hay 100 prisioneros, que tienen asignado un número del 1 al 100 y una cajonera con 100 cajones ordenados en los que están colocados aleatoriamente 100 números.
Todo prisionero que, abriendo menos de 50 cajones, encuentre el número correspondiente al que lo identifica, es indultado.
Los prisioneros tienen una hora para acordar qué estrategia les conviene adoptar para que se salve el mayor número de ellos, pero, transcurrido ese período, nunca más no podrán volver a comunicarse.
Finalmente, encuentran una estrategia que permite que en media se salve el 30% de prisioneros1.

Materiales: mazo de cartas.

Para empezar: se puede simular el reto con 8-12 cartas de 3 palos:
1) prisioneros: 8-12 cartas de un solo palo mezcladas y cubiertas;
2) cajones: 8-12 cartas de otro palo ordenadas y descubiertas;
3) contenidos de los cajones: 8-12 cartas mezcladas, cubiertas y distribuidas al azar para simular el contenido de los cajones.


Dos sugerencias:
1) La única característica propia de cada prisionero es su número identificativo.
2) La única serie ordenada es la que identifica los cajones.

DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN

En la versión original del reto, del que podéis consultar también si os interesa un desarrollo matemático más profundo (https://es.wikipedia.org/wiki/Problema de los 100 prisioneros), la estrategia usada permite en un 30% de los casos salvar a todos los 100 prisioneros (o a nadie: si sólo uno no lo consigue, ¡nadie se va a salvar!).

Este planteamiento me pareció demasiado cruel y he preferido adaptarlo, también para que motivara a una actividad de simulación con 8-12 cartas de juego, en la que en media se salva entre el 20 y el 30% de prisioneros2.

La estrategia que, teóricamente, resulta mejor es la siguiente:

Cada prisionero empieza abriendo el cajón correspondiente a su número de identificación3; si en el cajón hay su número se salva y deja sitio a otro prisionero. Si el número en el cajón es diferente del suyo, abre el cajón que corresponde al número encontrado4 y sigue así hasta haber abierto la mitad de los cajones (máximo permitido), esperando encontrar, tarde o temprano, su número.

Entre que difícilmente alguien que no sea un buen matemático consigue encontrar esta estrategia y que, aun así, funciona en bastantes pocos casos, esta actividad parece pensada para crear frustraciones, si la paramos aquí.

Pero creo que, aprovechando la facilidad que nos da la simulación con cartas y que el número de alumnos nos permite desarrollar y comparar diferentes estrategias en paralelo, podemos usarla para razonar sobre tema de las probabilidades junto con el análisis de la información.

Vamos a hacer simulaciones con 10 cartas.
Sobre la mesa habrá una fila con las 10 cartas descubiertas y ordenadas que representan los cajones. Arriba o debajo de estas cartas dispondremos otras 10 cartas cubiertas y barajadas, que representan el contenido de los cajones. En la mano tenemos otras 10 cartas que representan a los prisioneros, identificados por su número.

Estrategias alternativas podrían ser:

- Escogemos 5 de los 10 posibles números y todo prisionero abre los mismos cajones;
- Cada prisionero escoge qué cajón abrir cada vez tirando un dado de 10 caras o escogiendo una de las cartas del palo que no hemos utilizado aún;
- Procedemos a cada paso por intuición, sin dejarnos guiar por el número que se encuentra en el cajón que abrimos (a menos que no sea el que nos libera);
- Cada prisionero escoge 5 cartas entre las 10 del palo no usado y forma así su propia secuencia de cajones por abrir.

Repitiendo dos o tres veces por grupos de 2-3 alumnos (que pueden desarrollar estrategias diferentes), vamos a conformar un repertorio de resultados que nos permiten comprobar la eficacia de las diversas estrategias en modo bastante significativo o, en caso contrario, seguir investigando.

Otra posible investigación sería la de averiguar cómo se podrían disponer los números en los cajones de manera que todos los prisioneros se salvaran o, al revés, ningún prisionero se salvara.

Haciéndome estas preguntas y simulando la situación con las cartas, me vino a la memoria un solitario que hacía mi abuelo: el Solitario del Emperador5, que le salía muy, pero que muy pocas veces.

Para poder encontrar una pista, es suficiente jugar de una forma reducida, con 20 cartas (5 cartas de 4 palos o 10 cartas de 2 palos), de manera que los bucles sean más evidentes, tanto como para evitarlos u organizarlos, según queremos salvar o condenar a los prisioneros.

En otras situaciones, he desarrollado siempre a través de la simulación con cartas, el conocido problema de Monty Hall (https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall)

En grupos de 4 alumnos, se asignan los siguientes papeles:

- El conductor: maneja las 3 cartas, las presenta a los concursantes y da la vuelta a una de las cartas que no ofrecen premio;
- El intuitivo: escoge cada vez si cambiar o no su primera opción;
- El constante: nunca cambia su primera decisión;
- El inconstante: siempre acepta la oportunidad de cambiar su primera decisión.
Se juega 10 veces y se comparan los resultados6.

Otra buena aproximación del problema de Monty Hall (y cuya solución es más fácil de entender para todo el mundo) se puede dar usando 3 fichas iguales y unas pegatinas de colores: una ficha lleva pegatinas amarillas y otra ficha lleva pegatinas verdes en los dos lados y la tercera una pegatina amarilla en una cara y verde en la otra.
Se meten en una bolsa y se saca una ficha, escondiéndola bajo la mano.
Primera pregunta: ¿de qué color será la pegatina que se ve? ¿Qué probabilidad de acierto tenemos?
El acuerdo de que hay las mismas probabilidades que sea verde o amarilla es inmediato.

Después de haber levantado la mano para que todo el mundo pueda ver el color de la pegatina de la cara visible de la ficha, lanzamos la segunda pregunta: ¿De qué color será la pegatina de la cara escondida? ¿Las dos opciones tienen aún la misma probabilidad de acierto?

Una vez más dejo sin respuesta el reto, para que lo aprovechéis para razonar, experimentar y disfrutar de las matemáticas, que para eso se inventaron.

1Considerando que, escogiendo al azar, la probabilidad de éxito es: (1/2)100 ≈ 8 x 10-30, el 30% representa un incremento muy interesante.
2En situaciones variadas: exposición, feria o taller, hemos podido comprobar cómo un reto insoluble crea mucha frustración, si no tenemos un tiempo suficiente para discutir y usar en un contexto significativo las ventajas estratégicas que un fracaso “inteligente” puede aportar.
3Es el elemento que diferencia cada prisionero de los otros.
4Es la manera de desarrollar distintos recorridos entre los cajones.
5 Se juega con 40 o 52 cartas. Después de barajar las cartas, se disponen todas cubiertas sobre la mesa en 4 filas, menos 4, que serán las cartas que dirigen el juego. A cada fila se le asigna un palo. En Italia, de arriba a abajo son: corazones, rombos, tréboles y picas. Se empieza por una de las cartas que tenemos a parte, que se dispone en la fila y posición que debería ocupar en la mesa. Por ejemplo: si tengo un 4 de corazones, lo depositaré, cara arriba, en el cuarto lugar de la primera fila, desplazando la carta que allí tengo y que me dará opción a continuar el juego, a menos sea un rey, en ese caso irá a ocupar la posición final de la fila correspondiente a su palo. Para seguir con el juego, usaré otra de las cartas apartadas. El juego acabará cuando haya conseguido colocar todas las cartas en su correcta posición o hayan salido los 4 reyes.
6En este caso sí que la estrategia ganadora, que tanta discusión generó en su momento, funciona. Sólo una vez me pasó que, en un curso de formación del profesorado, me topé con una “bruja” en el papel de la intuitiva, que acertó 8 de las 10 veces. Supongo que se habrá hecho rica jugando en algún casino.

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