Año nuevo 2021
Empezar un nuevo año, en este caso el 2021, siempre tiene diversos alicientes. Desde una mirada matemática, centrarse en el número que indica este nuevo año es una primera posibilidad. En la primera parte del artículo de hoy nos centraremos en recreaciones para el nuevo año, a modo de felicitación para todos los lectores, con el deseo de que 2021 sea un gran año y, en cualquier caso, mejor que el 2020, que ha sido un año muy difícil para la mayoría.
Empezaré con una adivinanza que propuso Oriol Comas, buen amigo y gran experto en juegos de mesa, en el reverso de su tradicional calendario para el nuevo año:
Si estuviera en esta lista (que no estoy) ocuparía el lugar 307 que, curiosamente, es un número primo. ¿Quién soy?
Recreación 1. Si observamos la descomposición en factores primos de 2021, encontramos una curiosidad: es el producto de 43 · 47, dos números primos consecutivos. Así, la relación con los números consecutivos, puede formularse como problema: hallar un número que pueda cortarse en dos números consecutivos, que pueda expresarse como suma de dos consecutivos y cuya descomposición sea el producto de dos números primos consecutivos.
Si mis cálculos no fallan, este es el menor entero positivo con estas propiedades. La pregunta es: ¿habrá otros? ¿Cuál será el siguiente? Si trata de buscarlo, quizá piense que no hay otro, pero sí lo hay, el problema es que es un número un poco grande: ¡tiene 72 dígitos!
Recreación 2. Otra recreación consiste en expresar el número 2021 utilizando determinadas cifras. Por ejemplo, con todas las cifras del 0 al 9 una sola vez cada una y las operaciones que se desee. Aquí tiene una solución: (9 · 8 · 7 + 6 - 5) · 4 + 3 - 2 · 1 + 0 = 2021, pero hay muchas más. Claro que podemos hacerlo un poco más difícil y poner condiciones: ¿cuál será la expresión que utilizará menos operaciones y, como antes, todas las cifras una sola vez? Por ejemplo, 2416 – 395 + 78 · 0, utiliza solo cuatro operaciones, en lugar de las nueve usadas anteriormente. ¿Es posible hacerlo con menos operaciones? Otra idea interesante es intentar expresar 2021 con cifras seguidas, empezando por 1, intentando utilizar el mínimo posible de cifras. Antes vimos una solución para las cifras del 1 al 9. Trate de hacerlo con las cifras del 1 al 8, después del 1 al 7 y así, bajando hasta el mínimo posible. Además de las 4 operaciones y el uso de paréntesis, a medida que disminuyan la cantidad de cifras, serán necesarias también las potencias y el factorial. Aquí tiene un resultado con las cifras del 1 al 5:
2021 = ((1 + 2)!)! + (3!)^4)) + 5
Recreación 3. En lugar de usar todas las cifras, podemos proponernos usar solo una única cifra, tantas veces como sea necesario. Por ejemplo:
1111 · (1+1) - 111 · (1+1) + 11· (1+1) -1 = 2021
2222-222 + 22 - 2/2 = 2021
(333 + 3 + 3/3) · (3+3) - 3/3 = 2021
Trate de hacerlo con el resto de cifras, hasta el 9. Para cada caso, intente que la cantidad de veces que utiliza cada cifra sea el menor posible. ¿Cuál de las cifras debe repetirse un menor número de veces para llegar a 2021?
Recreación 4. Cambiemos de recreación y fijémonos en los criptogramas. Para este año funcionan bien, aunque no tengan solución única, los dos siguientes:
BON + ANY + NOU = 2021
MOLT + BON + ANY + NOU = 2021
Estas expresiones catalanas, muy pronunciadas estos días, significan: buen año nuevo y muy buen año nuevo, respectivamente. Como siempre se trata de substituir cada letra por una cifra, pero teniendo en cuenta que si son letras iguales deben ser cifras iguales y si son letras diferentes también deben serlo las cifras que las sustituyen.
Recreación 5. Otra recreación relacionada con el 2021, consiste en tratar de hallar cualquier resultado, utilizando las cifras de 2021, cada una de ellas una vez y las operaciones que queramos. Aquí tiene una solución para los números del 0 al 10:
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Trate de seguir hasta el mayor resultado que pueda. Cuando las cosas se ponen difíciles, deberemos recurrir a operaciones menos conocidas, como potencias, raíces e incluso factoriales. Así, por ejemplo, resulta que: (2+1)! = 6, o bien (2+2)! = 24 y todavía: (2+2+1)! = 120, lo que nos puede ayudar mucho para hallar resultados más grandes. Recuerde, también, que 0! = 1.
Son otras muchas las curiosidades del número que corresponde al año nuevo. Por ejemplo, 2021 puede expresarse como diferencia de dos cuadrados (caracterizar qué números son de esta forma es un bonito y no demasiado difícil problema y hallar si hay más de una posibilidad para un cierto número es también interesante. En efecto, para 2021 tenemos:
45 ^ 2 – 2 ^ 2 = (45 – 2) (45 + 2) = 43 x 47 = 2021
Las curiosidades sobre nuestro año parecen no tener fin. Por ejemplo, resulta que la cifra decimal 2021 de pi es 3. Hasta aquí nada especial; pero esta misma cifra del número e también es 3 y la cifra 2021 de fi (el número de oro) también es tres. Claro que esto es una pura casualidad, ya que este tres no se repite ni en raíz de 2 ni en raíz de 3, por citar algunos de los números irracionales más relevantes.
Para finalizar con el 2021, ahora sí, observemos esta magnífica curiosidad:
2021, invertimos el orden de las cifras y tenemos: 1202
Ahora hacemos los cuadrados de ambos números:
2021 ^ 2 = 4084441 y, por otra parte: 1202 ^ 2 = 1444804
Resulta que los cuadrados también tienen las mismas cifras en orden inverso.
Si con las recreaciones para el año nuevo no tuvo bastante, le propongo ahora algunos de los problemas que se propusieron hace poco para la prueba de selección a ESTALMAT, una actividad extraescolar, para alumnos de 11 a 13 años con talento matemático, en cuya elaboración participé. Muchas de las ideas de estos problemas se deben al profesor Antoni Gomà, cuya colección de sugerencias para generar nuevos problemas, o variantes de otros ya conocidos, parece no tener fin.
Problema 1. Tenemos un cubo formado por 5 x 5 x 5 cubos pequeños de 1 x 1 x 1.
A) Lo sumergimos en un bote de pintura, por lo que sólo quedan pintadas las caras exteriores del cubo grande. ¿Cuántos cubos pequeños quedan con 0, 1, 2, 3, 4, 5 o 6 caras pintadas? Razona cómo lo has encontrado.
B) Si el cubo fuera de otro tamaño, digamos de n x n x n, ¿qué operación deberías hacer para saber cuántos cubitos quedan con una cara pintada?
C) Volvemos al cubo 5 x 5 x 5. Ahora lo vaciamos un poco: sacamos tres tiras de cubos, las que van desde el centro de cada cara al centro de la cara opuesta (ver figura). ¿Cuántos cubitos quedarán en el cubo una vez vaciado? Si ahora lo volvemos a sumergir en el bote de pintura, ¿cuántos cubos quedarán con 0, 1, 2 o 3 caras pintadas?
Problema 2. En la figura, la superficie punteada representa un cuadrado de césped de 4 m de lado en un parque y la zona gris un camino que se ha alicatado con losas de piedra de 2 m x 1 m.
A) En la figura puedes ver que se necesitan 10 losas para el alicatado. ¿Sabrías razonar por qué siempre tienen que ser 10 losas, colocadas adecuadamente?
B) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar las 20 losas para conseguir embaldosar completamente el camino? Generaliza el resultado para un cuadrado de césped de
n metros de lado.
Acabaremos el artículo de hoy, con un problema numérico, también de la prueba de selección de ESTALMAT de la promoción 2020.
Problema 3.
A) ¿Cuál es el número más pequeño que podemos obtener si sumamos un número de seis cifras y un número de cuatro cifras de manera que entre los dos números utilizamos las diez cifras del 0 al 9, cada una exactamente una vez?
B) Razonar cómo podemos encontrar un número de seis cifras y un número de cuatro cifras, que entre los dos números utilizamos las diez cifras del 0 al 9, cada una exactamente una vez, de modo que el resultado de sumarlos sea 10#145 para un cierto valor del dígito # que no conocemos.
C) Seguimos utilizando todas las cifras del 0 al 9, cada una de ellas una y una sola vez, y con ellas escribimos dos números naturales de cinco cifras cada uno, de modo que si los sumamos el resultado de la suma también sea 10#145. ¿Podrías encontrar una propiedad que debe cumplir siempre el resultado de la suma y, a partir de esto, razonar cuál debe ser, al considerar todos los casos posibles, el dígito # que falta?
¡FELIZ AÑO 2021!