Estrategia, procedimiento, fórmula, algoritmo (I)

Artículo escrito por Guido Ramellini (Mmaca, Museu de Matemàtiques de Catalunya)

La resolución de muchos retos matemáticos necesita un tratamiento ordenado de operaciones lógicas de diferente dificultad. Siempre se empieza por acciones sencillas, como el observar en busca de constantes, que permitan una clasificación y una ordenación en base a un criterio o una característica. Delante de un reto complejo, las siguientes acciones, siguiendo el decálogo de György Pólya, tienen el objetivo de reducir dicha complejidad, por ejemplo, afrontando situaciones con un número inferior de variables o unas operaciones modulares.

A veces la esencia de los retos se esconde detrás de diferentes “efectos atmósfera”: el lenguaje (un ladrillo pesa un quilo más medio ladrillo. ¿Cuánto pesa un ladrillo y medio?), una presunta magia (trucos de mentalismo: las tablas para adivinar basadas en el sistema binario), un cambio de punto de vista (hacer 4 triángulos con 6 palillos), los prejuicios (¿Cuántos calcetines tengo que sacar, sin mirar, de un cajón con calcetines blancos y negros para tener un par del mismo color?) etc.

Entonces, la resolución de estos retos matemáticos pide que se apliquen distintas competencias para resolverlos y otras tantas para estructurar el proceso que nos ha conducido a tal resolución, eliminando los elementos superfluos y desviantes para construir un discurso sólido, que permita generalizar y/o expandir y enriquecer el problema.

En este sentido, el tema comunicativo juega un papel esencial:

• El enunciado del reto debe de ser interesante y atractivo;
• El desarrollo del reto debe de ser rápido y ágil, parecido al de un juego;
• La solución del reto debe de ser explicada de forma clara, no ambigua, sintética y generalizable a otras situaciones parecidas, de manera que el objetivo final debería ser el de buscar un algoritmo (siempre que sea posible).

Vamos a analizar tres actividades que nos parecen ejemplares y que nos van a entretener a lo largo de dos artículos.

Empezaremos con enunciar los retos y poner unas preguntas que orienten su resolución. Todas las actividades que vamos a proponer pueden ser resueltas con lápiz y papel o con materiales manipulativos: fichas de colores, cartas de juego, monedas, piezas de construcciones...

A la gente del MMACA nos gusta más trabajar con materiales y estamos convencidos que su manipulación, la facilidad que ofrecen de cambiar de hipótesis y modificar rápidamente la solución propuesta –y equivocada- por otra -aún por comprobar-, son elementos dinámicos importantes.
Por otro lado, la investigación neurológica aplicada al aprendizaje (como la de David Bueno) está confirmando que la manipulación de objetos, finalizada en la realización de un proyecto, activa un número mayor de áreas cerebrales distintas.
Podréis encontrar las soluciones de los retos y su discusión en un apartado final, de manera que los que quieran intentar resolverlos por si solos y avanzar hipótesis pueden posponer la lectura de las última páginas, para así comparar sus descubrimientos con los que nosotros hemos recogido.


Primer reto: EL TRIÁNGULO DE TRES COLORES¹

Determinar el color de la ficha (carta) que ocupará el vértice inferior del triángulo.

Materiales necesarios: fichas tipo parchís de tres colores (varias) o cartas de juegos de tres palos o monedas de tres valores o piezas de Lego o Duplo de tres colores².

Para empezar: mezclar las cartas, o los otros materiales, y poner 5 descubiertas en la mesa:
Esta será la base del triángulo que vamos a construir hacia abajo, basándonos en dos simples reglas:

• Debajo de 2 cartas del mismo palo habrá una carta de igual palo;
• Debajo de 2 cartas de palo diferente habrá una carta del palo que falta.

Ejemplos:

El reto no tiene demasiado atractivo (=emoción) si no le añadimos un toque “mágico”. Eso consiste en que la persona que propone el reto, antes de que empiece su desarrollo, puede prever el palo de la carta (el color de la ficha o el valor de la moneda) que ocupará el vértice inferior del triángulo.

Y cómo los lectores de este artículo creen en la magia sólo cuando deciden querer creer en la magia, no nos queda que invitarlos a ir a la caza de la estrategia, la fórmula o el algoritmo que les permita anticipar la solución final.

Dos sugerencias:

No os olvidéis de Pólya y sus consejos relativos a reducir la complejidad: puede que empezar a examinar el reto con 5 cartas sea demasiado difícil;

Habiendo puesto una pizca de magia, debéis esperaros algo de engañoso que es necesario descubrir y dejar de lado para conseguir el objetivo.

Segundo reto: EL NÚMERO DE FROBENIUS³ (el problema de las dos monedas)
Determinar el número más alto que no se puede componer con dos números dados

Materiales necesarios: fichas con etiquetas o cuadraditos de papel para poder escribir un valor numérico.

Para empezar: escoger 2 números primos relativos (no demasiado grandes, si no queremos que el juego se eternice). Con tales números y sólo sumando sus valores debemos conseguir números sucesivos a partir de 1.
Ejemplo:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4				1				2			1	3			2
7							1				1			2	1
	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
4	4		1	3	5		2	4	6	1	3	5	(7)	2	4
7			2	1		3	2	1		3	2	1	4	3	2

Mirando la tabla, es fácil ver que a partir de un determinado valor (18), todos los valores sucesivos se pueden obtener repitiendo varias veces 4 y 7.

¿Podemos demostrar que esto sigue así, sin excepciones? ¿Cómo?

El 17 es el valor más alto que no se puede componer con 4 y 7. Será este el número de Frobenius para la pareja 4 y 7.

¿Será verdad que para cada pareja de números primos relativos existe un número de Frobenius?
¿Habrá un algoritmo/fórmula para determinar, sin hacer todos los cálculos, el número de Frobenius de toda pareja de números primos relativos?

Para responder a estas preguntas son necesarias unas cuantas pruebas con parejas de números. O sea, como pasa muchas veces, para que llegue la inspiración es necesario algo más de transpiración. ¡A trabajar!

DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES
Primer reto: EL TRIÁNGULO DE TRES COLORES
Deshacemos la componente “mágica” y descubrimos el engaño:
¡NO HAY UN ALGORITMO PARA 5 CARTAS INICIALES!
Presentar el reto con 5 cartas tiene un único objetivo: esconder un poco más el algoritmo, que sí existe si empezamos con 4 cartas.
Así que el premio del descubrimiento llega para los que escucharon el consejo, empezando por situaciones menos complejas, pero, como tampoco hay un algoritmo empezando por 3 cartas, sólo la perseverancia que gana al desánimo lleva a la gloria.
Cómo todo algoritmo bonito y elegante, este también es sencillo:


Es suficiente fijarse en las dos cartas de los extremos: si son del mismo palo (B - C), la del vértice final será de este mismo palo. Si por el contrario son de palos distintos (A - D), la última carta será del palo que falta.
¿Habrá otras disposiciones iniciales de cartas que permitan aplicar este (u otro) algoritmo?
No voy a responder: todo buen reto nunca acaba; cada resultado origina otro reto, porque el juego termina sólo cuando se nos acaban las ganas de jugar. Como decía G. B. Shaw: “No dejamos de jugar porque nos hacemos viejos; nos hacemos viejos porque dejamos de jugar”.

Segundo reto: EL NÚMERO DE FROBENIUS (el problema de las dos monedas) La regla más fácil de encontrar, y demostrar, es que SIEMPRE habrá un Número de Frobenius para cada pareja de números coprimos A y B, con A<B. Será suficiente encontrar un número que no se pueda componer con nA + mB entre una serie de valores posibles tan larga como el valor de A:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
3			1			2			3		1	4		2	5		3	6	1
8								1			1			1		2	1		2

Si comparemos las columnas 14, 15 y 16, veremos que en las columnas 17, 18, y 19 aparecen los mismos valore aumentados de 3, o sea, con una moneda de 3 de más. Va a pasar lo mismo en las columnas 20, 21 y 22 y así continuará.
No es tan fácil llegar a la fórmula que permite saber el Número de Frobenius sin hacer todas las pruebas.

Examinamos los Números de Frobenius encontrados hasta ahora:


La regla para saber que siempre habrá un Número de Frobenius vale también si examinamos tres números a la vez (el problema de los McNuggets), pero la fórmula para encontrarlo no funciona.

El Número de Frobenius se encuentra antes si el más pequeño de los tres números investigados es muy pequeño:

N_3,4,5=2; N_3,5,7=4; N_4,5,7=6; N_3,5,8=7; N_2,9,11=7; N_4,5,9=11; N_3,8,11=13; N_7,8,9=20…

Como todo tema de matemáticas que se asoma a lo friqui, también este tema mueve pasiones y puede dar más de sí:
https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_moneda

¹ El amigo Mark Saul, director del Julia Robinson Mathematic Festival, nos enseñó este juego en la última MathWeek irlandesa y nuestra adaptación ha sido mínima
² Las piezas sencillas de Duplo o de Lego añaden al juego el aliciente de la construcción 3D.
³ Hemos probado este material una vez, en una jornada abierta a alumnado y familias en el 7demates de Manresa, obteniendo más éxito del que esperábamos. No lo hemos repetido, porque esta actividad requiere una presencia constante de un educador como moderador de las dinámicas, de forma que resulta más idónea para un taller que para una exposición o una feria.