Ha empezado un nuevo curso que promete ser complicado en muchos aspectos. La pandemia del COVID 19 persiste, pero estos problemas y acertijos nos ayudarán a pasar un buen rato y a entretenernos en aquel lugar al que la pandemia no puede llegar: nuestra mente y las matemáticas.
En el artículo de hoy presentamos una colección de diez problemas. Los cinco primeros son de temas variados, numéricos, combinatorios y funcionales. Los cinco restantes son exclusivamente de carácter geométrico:
PROBLEMA 1. Un joven y un viejo viven en el mismo edificio y trabajan en el mismo lugar. El joven tarda 20 minutos en recorrer el trayecto de casa al trabajo y el viejo tarda 30 minutos. Si hoy el viejo ha salido 5 minutos antes, ¿en que punto del trayecto el joven adelantará al viejo?
Aunque puede recurrir al álgebra para su resolución, en realidad no es necesario, ya que una buena representación gráfica le puede proporcionar una elegante solución a este problema.
PROBLEMA 2. En cada estación de una red ferroviaria se venden tantos billetes distintos como estaciones a las que se puede ir desde una estación determinada, o estaciones desde las que se va a esta estación. El billete de A a B es diferente del billete de B a A. Se inauguran diversas estaciones nuevas en la línea, y esto obliga a imprimir 34 nuevos billetes diferentes. Calcula cuantas estaciones tenía la línea y cuantas se han inaugurado de nuevas.
Un curioso problema que inicialmente parece poco definido y con muchas posibilidades, pero pronto se observa que, en realidad, son pocas.
PROBLEMA 3. En un instituto estudian idiomas, historia y filosofía. El 35% de los estudiantes que estudian idiomas hace inglés y el 13% de los estudiantes del centro estudian un idioma distinto del inglés. Ningún estudiante estudia más de un idioma. ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes del centro que estudian un idioma?
Los porcentajes siempre proporcionan curiosidades como la del problema anterior.
Finalizamos esta primera parte con dos problemas de números, el primero de divisibilidad y el segundo relacionado con la conocida sucesión de Fibonacci.
PROBLEMA 4. Queremos escribir un número de 10 cifras, utilizando todas las cifras del 0 al 9 una sola vez cada una. El número debe ser tal que al escribir la primera cifra (se entiende que las vamos escribiendo de izquierda a derecha) el número sea múltiplo de 1; cuando escribimos la segunda, el número resultante sea múltiplo de 2, y así sucesivamente de forma que el número de 10 cifras debe ser múltiplo de 10. ¿Sabría encontrar, de manera razonada, este número, o en caso de que no sea posible razonar por qué no se puede?
PROBLEMA 5. La sucesión de Fibonacci comienza con los números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, .... y cada término, excepto los dos primeros que son dados, se obtiene sumando los dos anteriores. Determinar y justificar si el término 100 es un número par o impar. Si en vez de empezar por 1, 1, ... la sucesión empieza por a, b, ¿es posible que todos los términos sean pares? ¿Y todos impares?
El resto del artículo, problemas del 6 al 10, está dedicado a la geometría.
PROBLEMA 6. Tenemos un volumen de un decímetro cúbico de plastilina y con él formamos esferas que apilamos una sobre otra. ¿La altura de la pila será igual o diferente, según el número y tamaño de las esferas construidas? ¿Cuántas esferas y de qué radios hay que hacer, para que la pila tenga una altura igual o superior a 1 metro? ¿Es posible que la altura sea tan grande como se quiera (prescindiendo de limitaciones físicas)?
PROBLEMA 7. Dado un cuadrilátero cualquiera, unimos los puntos medios de sus lados para formar otro cuadrilátero ¿Qué tipo de cuadrilátero obtiene? ¿Sabría demostrarlo para cualquier cuadrilátero? ¿Qué condición debe verificar el cuadrilátero inicial, si queremos que el obtenido mediante el mismo procedimiento (unir puntos medios de los lados) sea un rectángulo?
PROBLEMA 8. Dado un triángulo isósceles ABC, con AB = AC, se trata de hallar por donde tendremos que trazar una paralela (DE) a uno de los lados del triángulo (BC), de tal forma que la suma de las longitudes de los dos segmentos determinados sobre el triángulo entre la paralela y el lado BC, sea igual a la longitud del lado BC. (Es decir, queremos que: BD + CE = BC). ¿Y si queremos que la suma de los dos segmentos anteriores sea igual al segmento DE?
PROBLEMA 9. Un bote de pintura de forma cúbica está lleno y contiene la pintura necesaria para pintar la superficie exterior de 10 botes iguales al dado. ¿Si tenemos otro bote lleno de pintura, de la misma forma que la anterior y con las medidas lineales reducidas a la mitad, cuantos botes iguales a este podremos pintar ahora? Generalice el problema sabiendo que con el bote inicial se pueden pintar n botes iguales a él y que la razón de semejanza entre los dos botes es k.
PROBLEMA 10. Con una hoja de papel rectangular de dimensiones a x b cm y 60 cm de perímetro, formamos el área lateral de un cilindro. Esto lo hacemos uniendo los lados de longitud a del rectángulo y haciendo que el lado de longitud b sea la longitud de la circunferencia de la base del cilindro. ¿Para un rectángulo no cuadrado, si formamos un cilindro uniendo los lados de longitud a y otro uniendo los de longitud b, el volumen de los dos cilindros será el mismo? Si no es así, ¿cuál de los dos tendrá mayor volumen? ¿Qué dimensiones tendrá el rectángulo que generará un cilindro de volumen máximo?
Espero estén teniendo un buen inicio de curso y hasta la próxima entrega.