El número π, ¡todo un clásico!

π = 3'14159265358969323846264323015319196365587....

En Pesadillas de personas eminentes (1954), Bertrand Russell (1872-1970) apuntaba que «el rostro de Pi estaba enmascarado; se sobreentendía que nadie podía contemplarlo y continuar con vida. Pero unos ojos de penetrante mirada acechaban tras la máscara, inexorables, fríos y enigmáticos».

¿Quién no ha oído hablar nunca del "famoso" número Pi? En este artículo presentaremos el perfil de este número que tan a menudo nos agobiaba en nuestras clases de matemáticas y que hoy ya forma parte de nuestra cultura popular. Para ello, propondremos algunas actividades que nos acercaran a este mediático personaje numérico denominado Pi.

Una actividad para empezar

Todo el mundo dispone en el domicilio de figuras y objetos circulares (formalmente círculos), en particular platos. Cojan un cordel y rodeen el plato con el cordel, esto permitirá medir el perímetro del plato, calculen también el diámetro del plato; observen que la longitud del círculo que rodea el plato es 3 veces y pico la longitud del diámetro. A continuación, se propone que realicen la misma experiencia en círculos de diversos tamaños. ¿A qué conclusión llegan? Si se realiza correctamente la actividad anterior, el valor "3 y pico" es una constante que denominamos Pi y que lo expresamos con el símbolo π.

Formalmente se define π como el cociente entre el perímetro del círculo y su diámetro.

¡En el quehacer cotidiano de las comidas ya podemos afirmar que en el plato nos encontramos a π como guarnición!

Presencia de Pi y vida social

El número Pi se manifiesta oculto en multitud de situaciones (¡es un instigador!); veamos algunos ejemplos a modo de anécdotas y curiosidades.

En El Periódico de fecha 19 de junio del 2008 encontramos una curiosa noticia que sintetizamos a continuación. Algunas cosechas de cereales británicas se despiertan ocasionalmente con un cambio en su fisonomía. De noche y a escondidas, hay alguien que se dedica a convertir los campos en bellas y extensas obras de arte conocidas como “círculos en las cosechas” o “crop circles”. A principios del mes de junio del 2008, un círculo de 46 metros de diámetro apareció dibujado en las inmediaciones del castillo de Barbury, al sur de Inglaterra. Su forma despertó la curiosidad de Mike Reed, un astrofísico retirado que supo descifrar el significado varias semanas después. Para la sorpresa de muchos matemáticos, el ICONO simboliza la cifra 3,141592654, es decir, los 10 primeros dígitos del número Pi.

Imagen de El Periódico, 19 junio 2008

La presencia de π ocupa un lugar relevante en la trigonometría, principalmente en procesos repetitivos (ondas sinusoidales); los sistemas de navegación para calcular el itinerario más corto con el mínimo combustible utilizan el número π; notamos también que los aparatos de música y los receptores están basados en ondas sinusoidales (las pueden observar en la pantalla de algunos aparatos de la actual tecnología) para codificar y descodificar, y por tanto aparece protagonizando las frecuencias. En geología, el profesor H. Stolum (Universidad de Cambridge) demostró que el cociente entre la longitud natural de un río y la distancia en línea recta entre su nacimiento y la desembocadura era cercano a π tal como se detalla en el artículo publicado en la web https://www.matesymas.es/jm/estalmat/2010/veteranos2_1011/index.html

En el ámbito del consumo tenemos, en la D.O. Priorat (Catalunya), un vino denominado 2πr; hay un perfume masculino (de Givenchy) etiquetado como π, e incluso hay una película llamada π (Pi, fe en el caos, 1998, director Darren Aronofsky). Alfred Hitchcock en su filme Cortina rasgada (1966), protagonizada por Paul Newman, hace aparecer π como el símbolo de una organización de espionaje.


En la imagen (minuto 34 del filme aproximadamente), extraída de https://www.youtube.com/watch?v=3ARZ27eMXg0, Paul Newman escribe con su zapato el símbolo de Pi en el suelo con el fin de identificarse ante una red de espionaje.

En numerosos textos literarios también se manifiesta nuestro número de hoy. Uno de los más recientes corresponde a una poesía de la escritora polaca Wislawa Szymborska (Premio Nobel de Literatura, 1996), dedicada a π.

«Digno de admiración es el número Pi
tres coma catorce.
Todas sus siguientes cifras también son iniciales,
quince noventa y dos porque nunca termina.
No deja de abarcar sesenta y cinco treinta y cinco con la mirada,
ochenta y nueve con los cálculos
sesenta y nueve con la imaginación,
y ni siquiera treinta y dos treinta y ocho con una broma o
sea comparación
cuarenta y seis con nada
veintiséis cuarenta y tres en el mundo.
La serpiente más larga de la tierra después de muchos
metros se acaba.
Lo mismo hacen, aunque un poco después las serpientes de
las fábulas.
La comparsa de cifras que forma el número Pi
no se detiene en el borde de la hoja,
es capaz de continuar por la mesa, el aire,
la pared, la hoja de un árbol, un nido, las nubes, y así hasta
el cielo,
a través de toda esa hinchazón e inconmensurabilidad
celestiales.
Oh, qué corto, francamente rabicorto es el cometa
¡En cualquier espacio se curva el débil rayo de una estrella!
Y aquí dos treinta y uno cincuenta y tres diecinueve
mi número de teléfono el número de tus zapatos
el año mil novecientos sesenta y tres sexto piso
el número de habitantes sesenta y cinco céntimos
centímetros de cadera dos dedos una cucharada y mensaje cifrado,
en la cual ruiseñor que vas a Francia
y se ruega mantener la calma,
y también pasarán la tierra y el cielo,
pero no el número Pi, de eso ni hablar,
seguirá sin cesar con un cinco en bastante buen estado,
y un ocho, pero nunca uno cualquiera,
y un siete que nunca será el último,
y metiéndole prisa, eso sí, metiéndole prisa a la perezosa eternidad
para que continúe.»
3'14159265358969323846264323015319196365587...

(Traducción al español de Carlos Marrodán Casas)

El japonés Akira Haraguchi (1946), conocido psiquiatra y récord mundial en memorizar cifras del número Pi, estuvo 16 horas seguidas recitando de memoria las primeras 100.000 cifras de Pi (y con ello obtuvo un record Guinness).

En Estados Unidos y en otros muchos lugares del planeta, se celebra –en los ámbitos académicos- el día del número Pi, el 14 de marzo (en formato americano 03-14); el año 2015 y el 2016 fueron especiales porque las fechas fueron: (03-14-15) y (03-14-16). Siguiendo con las curiosidades del calendario relacionadas con nuestro número, cabe destacar que Albert Einstein nació un 14 de marzo a la 1:59 de la tarde (en formato americano 314159).

Por este motivo el Consejo Ejecutivo de la UNESCO ha aprobado, en fecha 27 de noviembre del 2019, la proclamación del 14 de marzo como el Día Internacional de las Matemáticas (IDM) (https://www.idm314.org/)

Otra actividad: los números dentro de Pi

Cualquier número que se escribe con una cantidad finita de cifras, puede encontrarse en π, de modo que las cifras del número se encuentren correlativas entre sus decimales. En la web http://www.angio.net/pi/piquery pueden introducirse hasta una secuencia de siete números y nos muestra la posición de cada uno de los de la secuencia propuesta dentro de las cifras de Pi. De esta manera, si introducimos el número 2021 la web nos indica que el primer digito está en la posición 4351, el segundo digito ocupara la posición 4352 y así sucesivamente tal como muestra la imagen obtenida como captura de pantalla de la experiencia.


Proponemos como actividad introducir secuencias de 7 dígitos y encontrar la posición que ocupa dentro de Pi. También puede ir a la web: http://mypiday.com/ e introducir su fecha de nacimiento para ver en qué posición se encuentra dentro de Pi.

Breve historia de π

A lo largo de la historia, muchos matemáticos se han entretenido en buscar cifras de Pi, tarea que nunca acabará, porqué se ha demostrado que este número no puede expresarse como un cociente de números naturales (0, 1, 2, 3…) por lo que debe tener infinitas cifras. Este hecho le concede la categoría de número irracional. En alguna ocasión se ha pensado en escribir Pi como 22/7 = 3.142857143 que como se observa no es su valor pero si una buena aproximación. Siempre obtendremos aproximaciones, pero nunca una expresión en forma de fracción.

En 1650 a.C. en el Papiro de Ahmes (también conocido como papiro Rhind) los egipcios proponen aproximar Pi como la fracción 256/81 = 3.160493827, notamos que sólo contiene un decimal exacto. Dicho documento, actualmente, se conserva en el Museo Británico de Londres, aunque algunos fragmentos están en el Museo de Brooklyn de Nueva York. El papiro hace unos 5 metros de largo y 33 cm de ancho y está escrito por las dos caras. Consta de 87 problemas que tratan sobre álgebra, geometría y trigonometría.¹


Hay que añadir que anteriormente, en algún fragmento de La Biblia (Reyes-I-7-23), se utilizaba Pi simplemente tomando el valor 3.

Más adelante, en el 250 a.C., Arquímedes dibujó 96 lados alrededor de un círculo y afirmó que Pi se podía localizar entre 220/70 = 3.1428 y 223/71 = 3.1408 -y que como mucho se obtienen tres cifras exactas-. A esté método prestaremos especial atención, tanto por la intuición como por el rigor en la construcción con el que nos obsequia Arquímedes. De hecho, en cierta manera se encuentra involucrado el concepto de límite. Arquímedes fue el primero en ofrecer una aproximación precisa de π. Usó un esquema basado en polígonos inscritos y circunscritos como los mostrados en la siguiente imagen:²

El perímetro de tales polígonos proporcionaba cotas inferiores y superiores para el valor de la longitud de la circunferencia, y por tanto para el valor de π. Es decir:

Longitud polígono de n lados inscrito < longitud circunferencia <
Longitud polígono de n lados circunscrito

Cuando más lados tenían los polígonos más acotado quedaba el valor y Arquímides, utilizó polígonos de 6, 12, 24, 48 y 96 , con el de 96 lados determinó que el valor de π estaba comprendido entre , es decir y …, su valor exacto hasta el segundo decimal.

Arquímedes realizó otras interesantes aportaciones, de entre las que destacaremos una excelente e ingeniosa contribución al cálculo del área de un círculo. Sin usar muchas palabras veremos de manera visual cómo la calculó. Dividamos un círculo de radio R y perímetro 2πR en ocho partes iguales y las reordenamos como se muestra en la siguiente imagen, que evidencia que la longitud de la curva es πR, nótese que la figura resultante se asemeja a un rectángulo y posee la misma área que el círculo considerado.


Repitiendo lo mismo, pero dividiendo el círculo en 16 partes se obtiene:


Si imaginamos realizar sucesivamente estas divisiones en más partes pensando el círculo formado por una cantidad increíblemente grande de partes, intuitivamente podemos pensar que el razonamiento realizado nos deriva a la imagen:


Un precioso rectángulo de base πR y altura R cuya área es la misma que el círculo. Luego como el área del rectángulo es base por altura (πR·R= π·R²) podemos concluir que el área del círculo es π·R²

El ansia por calcular más decimales mediante el método de Arquímedes culminó en el Renacimiento. François Viète (1540-1603) usó polígonos de 393216 lados, lo que le permitió obtener hasta el noveno decimal; récord que fue superado por Ludolph van Ceulen (1540-1610), que llegó a calcular 35 cifras decimales al considerar un polígono regular de 2⁶² lados; trabajo que no publicó ya que murió, por ello estas cifras muestran su presencia inmortalizadas en la lápida de su tumba. Los alemanes se refieren a Pi como el número "ludofiano" en honor a Ludolph.

En 1706, el inglés William Jones (1675-1749) introdujo el conocido símbolo griego π para designar Pi. Este símbolo tuvo un eco mediático y popular de la mano de L. Euler en su obra Introducción al cálculo infinitesimal (publicada en 1748). Johan H. Lambert (1728-1777), matemático alemán, demostró que Pi es un número irracional, es decir, que no se puede expresar en forma de fracción.

Posteriormente ya aparecieron los métodos analíticos para calcular π. A partir del desarrollo basado en lo que se conoce como serie de Taylor de la función arcotangente, John Machin (1680-1751) llegó a calcular hasta un centenar de decimales. Una variante de la fórmula empleada por Machin es la siguiente:


En pleno siglo XIX -en concreto en el año 1873- el matemático inglés William Shanks (1812-1882) hipotecó 15 años de su vida buscando decimales de Pi. Se comenta que encontró 707 pero se ha comprobado (en 1945) que se equivocó en el decimal que ocupa el lugar 528 y que por lo tanto los siguientes dígitos no eran correctos.

En 1949, con la introducción de los ordenadores, uno de los primeros ordenadores -ENIAC- después de 70 horas de trabajo calculó Pi con 2.037 decimales exactos. Diez años más tarde, ordenadores ubicados en Francia e Inglaterra calcularon más de 10.000 cifras de Pi.

En 1961 Daniel Shanks (1917-1996), sin ningún parentesco con William Shanks, y J. W. Wrench (1911-2009), obtuvieron en 8 h 23 min, 100.265 cifras de Pi con un IBM 7090. El trabajo completo se encuentra en Shanks, Daniel; John W. Wrench (1962) Calculation of π to 100,000 Decimals. Mathematics of Computation, Vol. 16, No. 77. 16 (77): 76–99.ISSN 0025-5718.

Finalmente, y ya en 2004, Yasumasa Kanada (1949) calcula 1,24 billones de decimales del número Pi con la ayuda del ordenador. El cálculo consumió más de 600 horas.

En fin, actualmente el cálculo de cifras del mediático número Pi sólo tiene un interés lúdico y forma parte de un entretenimiento del pasado.

Como otras celebridades, ¡π ya forma parte de nuestra cultura popular!

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¹Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg?uselang=ca
²Fuente de la imagen: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ilustracao-metodo-poligonos-calculo-pi.png