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Problemas y recreaciones para la vuelta a la calle


Parece que el confinamiento está llegando a su fin y que, aunque lentamente, vamos a empezar a salir. He seleccionado algunos problemas muy diversos, dos de los cuales tienen relación con reuniones de gente y con lugares, como museos, que durante este tiempo no hemos podido visitar.

Pero antes de proponer problemas más largos y complejos, empezaremos con algunas cuestiones breves de geometría:

- ¿Cuántos tubos cilíndricos de 1cm de diámetro interior son necesarios para que pase la misma cantidad de agua que pasa por un tubo de 6cm de diámetro interior?

- Un bote lleno de pintura contiene la pintura necesaria para pintar su superficie exterior. Aumentamos las dimensiones lineales del bote en un 10%. La pintura del nuevo bote lleno, ¿será suficiente para pintar su superficie exterior? ¿Cuánta pintura (en porcentaje) sobrará o faltará?

- En lugar de bordear un campo rectangular para ir al vértice opuesto, María sigue la diagonal del rectángulo, con lo que reduce el camino en una distancia igual a la mitad del lado mayor del rectángulo. ¿Cuál es la razón – el cociente- entre los lados del rectángulo?


Problema 1. Fechas de aniversario. Siempre que me encuentro reunido con un grupo de gente, me hago la misma pregunta: ¿habrá por lo menos dos personas en este grupo que habrán nacido el mismo día (se entiende el mismo día y el mismo mes, pero no año, es decir, que celebren su aniversario el mismo día)?

Le propongo que busque cuál es el mínimo número de personas del grupo para que la probabilidad sea mayor del 50%. Seguramente se sorprenderá al ver que este número es bastante bajo, lo cual nos permitirá experimentarlo en más de una ocasión. Tampoco es necesario un número muy elevado de personas para que dicha probabilidad supere el 90%. ¿Cuál será en este caso?

Presentaré ahora un problema que ya se ha convertido en clásico. Seguro que hará pensar a aquellos que no lo conocen y espero que gustará revisitar a los que ya lo conocían, como me ha sucedido a mí al repensarlo.

Problema 2. Un cubo con agujeros. Observe la figura siguiente que muestra cómo se construye el fractal llamado “Esponja de Menger”:


El primer cubo tiene 3 metros de arista y en el segundo se han hecho agujeros (de 1 metro de lado) por todas las caras. La pregunta es: ¿cuál es la superficie total de este segundo cubo, incluidas las superficies interiores introducidas por los agujeros?

Problema 3. El problema de la galería de arte. Llamado también “el problema del museo” es un problema conocido y bien estudiado en geometría computacional. Se origina en un problema de la realidad que consiste en proteger una galería de arte, o un museo, con el número mínimo de vigilantes (y la posición que debe ocupar cada uno) necesarios para que, en su conjunto, pueden observar todos los rincones de la galería sin moverse del lugar que ocupan. Evidentemente este número depende de la forma de la galería o del museo.

En la versión geométrica del problema, el diseño de la galería de arte está representado por un polígono (simple) y la posición de cada vigilante está representada por un punto en el polígono. Se dice que un conjunto P de puntos protege un polígono si, para cualquier punto q del polígono existe un punto p del conjunto P, tal que el segmento de línea entre q y p está dentro del polígono.

Le propongo que dibuje distintos polígonos bien irregulares y cóncavos (si tenemos un polígono convexo, es decir, con todos los ángulos interiores menores de 180º, entonces, aunque sea irregular, con un punto, o sea un vigilante, bastará) y trate de hallar el mínimo número de vigilantes y su posición para cubrir la visión de toda la sala.

Más que un problema, le propongo que investigue la situación y trate de hacer sus propias conjeturas (en particular hallando relaciones entre el número de vértices del polígono y el de vigilantes).

Existen distintas restricciones sobre las posiciones de los vigilantes (en el perímetro, o en los vértices). En este ejemplo, que he encontrado en la red, se señalan los 11 vértices del polígono cóncavo, y en azul aquellos donde se situarían los tres vigilantes. La solución se deriva del coloreado de los vértices de modo que no haya dos adyacentes del mismo color. Sin embargo, resulta fácil ver que, en este caso, bastarían solamente dos vigilantes.


El teorema de Václav Chvátal da una cota superior sobre el número de vigilantes para el caso de que éstos estén situados en los vértices. Este teorema afirma que, si n es el número de vértices, el número de vigilantes necesario será igual o menor a la parte entera de dividir n entre 3. En el ejemplo, 11:3 = 3,66... por lo que la parte entera es 3. En este caso la solución es dos en lugar de tres.

Finalizaré el artículo de hoy con un par de problemas algo más difíciles que los anteriores y similares a los que se proponen en las olimpiadas matemáticas:

Problema 4. Puntos del espacio y rectas paralelas. Hallar un conjunto finito de puntos (M) del espacio y no situados todos en un mismo plano, de tal manera que, para cualquier par de puntos, A y B del conjunto M, existe otro par C y D de M, de modo que las rectas AB y CD son paralelas y distintas. Una vez hallada una posible solución, que ciertamente existe, ¿sabría determinar, además, cual es el mínimo número de puntos que debe contener el conjunto M?

Problema 5. Descomponiendo el tablero de ajedrez. Consideremos un tablero de ajedrez (8x8) y lo descomponemos en rectángulos, que no se solapan, y que cumplen las siguientes condiciones:

- Todos los rectángulos tienen el mismo número de casillas blancas y negras.
- El número de casillas blancas de cada uno de los rectángulos es distinto al de todos los demás (podemos suponer, por tanto, que se pueden ordenar de mayor a menor, sin repeticiones, según el número de casillas de un color).

Encontrar el mayor número de casillas blancas que podrá tener uno de los rectángulos de la descomposición y determinar la secuencia de valores (número de casillas blancas) de los distintos rectángulos, para todas las descomposiciones posibles.

Tenga en cuenta que puede suceder que alguna de las secuencias, en la práctica, no pueda realizarse. ¿Cuántas soluciones hay? ¿Todas las soluciones tendrán el mismo número de rectángulos?

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