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Algunos juegos de John H. Conway

 

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Resumen del juegoHoy, dedicamos este artículo a presentar algunos juegos de John H. Conway, gran matemático, creador de juegos, personaje de una gran originalidad y que falleció el pasado 11 de abril en Princeton víctima del COVID 19.

Sprout

Uno de los juegos más conocidos ideado por Conway es Sprout, que es un juego de estrategia para dos jugadores. Dibujamos un cierto número de puntos en un papel (con dos o tres basta para empezar). A su vez, cada jugador une dos puntos con una línea (no necesariamente recta) con las siguientes condiciones:

A) la línea no puede cortar a ninguna otra línea ya dibujada.
B) de cada punto sólo pueden salir tres líneas.

Para completar la jugada, una vez dibujada la línea se marca un nuevo punto sobre ésta. El jugador que no puede dibujar una línea con las condiciones anteriores, pierde la partida.

Es interesante analizar los casos con pocos puntos iniciales (entre 2 y 5) que son los que permiten ver "cosas interesantes" sin complicar demasiado las partidas. Después de jugar un poco, se puede empezar por ver que el juego es efectivamente finito, luego encontrar cuál es el máximo y el mínimo número de jugadas de una partida y finalmente intentar conjeturar quién gana en estos primeros casos.

Veamos en el dibujo, una partida de sprout con dos puntos iniciales. Aunque los dos puntos verdes tienen todavía un grado de libertad (sólo hay dos líneas que salen de ellos) no se pueden unir sin cortar alguna de las líneas ya trazadas, por lo que la partida finaliza y gana el primer jugador, porque el segundo no puede jugar.



Se trata de un juego (Sprouts significa literalmente, brotes), creado por Conway y Paterson en 1967, muy sorprendente porque detrás de un enunciado sencillo se esconde un problema muy complejo. Si bien hay una conjetura sobre cuál es el jugador que tiene una estrategia ganadora según la posición inicial (para casos con un número reducido de puntos iniciales), se trata de un problema abierto, ya que esta conjetura no está demostrada todavía.

Si quiere saber más, la red está llena de información sobre este juego (por ejemplo en: http://nrich.maths.org/2413 ), y también encontrará una curiosa variante (Brussels Sprouts - coles de Bruselas) que inicialmente parece más compleja pero que en realidad no lo es (ahora en lugar de puntos dibujamos cruces de manera que pueden salir 4 líneas de cada punto, pero éstas están previamente fijadas por el dibujo de las cruces) .

El análisis del juego sugiere relaciones con los grafos, entre ellas, la fórmula de Euler en el plano, que dice que la suma del número de regiones y de vértices equivale al número de lados + 2 (si sólo contamos las regiones cerradas será + 1). En particular, la aplicación de esta fórmula permite resolver el segundo juego, Brussels Sprouts, encontrando que el número de movimientos está determinado por el número de puntos iniciales, por lo que, si éste es n, el número de movimientos será 5n - 2.

El interés por Sprout es muy grande y no para de crecer desde su creación. Existe incluso una asociación dedicada al juego, World Game of Sprouts Association, http://www.wgosa.org/ . En otra página, http://www.math.utah.edu/~alfeld/Sprouts/, de la Universidad de Utah, se puede descargar un programa para jugar al Sprout. Finalmente, en la página http://gameofsprouts.com/refs.html , encontrará una extensa bibliografía, tanto de lugares para jugar como de trabajos sobre este interesante juego.

El ángel y el demonio

Otro de los juegos populares analizado por Conway es el llamado El ángel y el demonio, que publicó en 1982 en el libro Winning Ways for your Mathematical Plays (3 volúmenes), de Elwyn Berlekamp, ​​John Conway y Richard Guy, los tres ya desaparecidos. El juego había sido propuesto inicialmente por John Lemmon Sinneslöschen, y se basa en algunos de los principios básicos de la llamada teoría de juegos. Se trata de un juego para dos jugadores que se juega en un papel cuadriculado “infinito”, aunque una hoja con bastantes cuadrículas será suficiente. Un jugador será el ángel y el otro el demonio. El ángel tiene el poder de volar de una casilla a otra (poder que se establece al inicio de la partida y que puede oscilar de 1 a 100). Empezamos a jugar con un poder 1 para el ángel; esto significa que el ángel, en cada movimiento, se puede mover a una casilla vecina, no en diagonal. Por cada movimiento del ángel el demonio elimina una casilla, la que quiera, menos la casilla donde está el ángel. El ángel puede volar por encima de una casilla destruida por el demonio, pero no puede ocuparla, aunque con el poder 1 esta regla no tiene sentido. Gana el ángel si escapa del demonio. Gana el demonio si consigue inmovilizar al ángel. Cuando empezamos a jugar, incluso con poder 1, parece que el ángel se escapará, pero un poco de experiencia indica lo contrario. En este momento podemos pasar a dar al ángel poder 2.

Conway, siguiendo el estilo de Erdös, ofreció una recompensa por una solución general al juego (100 dólares para una estrategia ganadora con un ángel de poder suficientemente alto, y 1000 dólares para una demostración de que el diablo puede ganar cualquiera que sea el poder del ángel). En 2006, el juego se resolvió al aparecer demostraciones independientes de Mathé y Kloster​ en el sentido que un ángel podía ganar. Se trata, no obstante, de demostraciones de existencia y no de construcciones reales de una estrategia ganadora.

El juego de la vida

Al hablar de juegos y de Conway no puede faltar una mención al llamado Juego de la vida, su creación más popular y conocida, desde que, en octubre de 1970, Martin Gardner le dedicó uno de sus artículos en la revista Scientific American. Sin embargo, hay que decir que en realidad no es un juego, en el sentido que damos a esta palabra: un objetivo a lograr por uno de los jugadores, que van realizando jugadas, donde ganan o pierden, etc. Se trata de una simulación de la vida de una especie (creación, existencia, muerte). En palabras del propio Conway, “no-player never-ending”, un juego sin jugadores que no acaba nunca. El nombre de juego puede venir de la idea de simulación, ya que muchos juegos son en realidad simulaciones de la realidad. A este juego, algoritmo o artilugio evolutivo, deberíamos llamarlo en realidad un autómata celular, o sea un modelo para describir los sistemas naturales y su gran valor es que mediante un algoritmo sencillo y fácilmente representable se simula de manera admirable lo que es la vida.

Describiremos esquemáticamente el juego:

Se "juega" en un tablero cuadriculado infinito. A partir de una posición inicial de "vida", es decir de una o más casillas, adyacentes o no, con vida, cada una de estas casillas interacciona con sus ocho vecinas y el sistema evoluciona de acuerdo con estas tres reglas que se aplican en cada "jugada" o generación, como se denomina técnicamente:

a) Una casilla con dos o tres casillas vecinas vivas sobrevive.
b) Una casilla muerta, sin vida (= vacía), con tres casillas vivas vecinas se transforma en una casilla viva.
c) Todas las demás casillas vivas (podríamos llamarles células) mueren en la jugada o generación siguiente.

Por lo tanto, un inicio de juego con una sola casilla muere en la jugada siguiente y no hay vida. Lo mismo ocurre con dos casillas adyacentes o con dos casillas separadas por una casilla muerta. De hecho, hay sobre todo tres tipos de inicios que se van repitiendo: los que siempre permanecerán vivos, sin moverse nada, como es el caso de un bloque de cuatro casillas formando un cuadrado; los que oscilan y terminan volviendo a la posición inicial, como tres casillas en línea recta; y los llamados “barcos”, que se van trasladando, con más o menos pasos intermedios, a lo largo del tablero.

Aquí un ejemplo de una estructura con cuatro células que evoluciona formando un ciclo que se repite después de cuatro generaciones y que mantiene constante el número de células vivas:


En https://bitstorm.org/gameoflife/standalone/ es posible descargar un programa para jugar online.

Hasta aquí nuestro pequeño homenaje a este matemático, mago y jugador, cuya obra inmensa, aun la restringida a los pequeños juegos de estrategia, solo hemos esbozado. Nos hemos dejado muchos juegos, algunos geniales como el phutball, el fútbol de los filósofos.

Más información sobre John H. Conway:

https://www.nytimes.com/2020/04/15/technology/john-horton-conway-dead-coronavirus.html

https://www.theguardian.com/science/2015/jul/23/john-horton-conway-the-most-charismatic-mathematician-in-the-world
Entretenimiento
Complejidad
Precio
Competencias matemáticas
Enlaces en la redhttps://www.nytimes.com/2020/04/15/technology/john-horton-conway-dead-coronavirus.html
https://www.theguardian.com/science/2015/jul/23/john-horton-conway-the-most-charismatic-mathematician-in-the-world

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