1. Inicio
  2. Para pensar de 1 minuto a 1 hora
Seguimos confinados: problemas y acertijos para todos los niveles

Cuando escribo este artículo, en plena Semana Santa, seguimos confinados. Deseo que cuando se publique estemos saliendo ya de esta pandemia y la recuperación de la normalidad esté más cerca. Mientras, en casa, que no falten los juegos, acertijos, enigmas y problemas matemáticos para pasar un buen rato y ejercitar la mente.

Empezaremos con varias recreaciones breves y espero que bastante sencillas:

  • ¿Cuál es el menor número natural cuya suma de sus cifras es 30? ¿Y el mayor, si no podemos utilizar la cifra 0? Este último número es bastante grande, pero, ¿será mayor que la edad del universo, si esta la expresamos en segundos?

  • Ponga ocho cifras distintas y distintas de cero en las ocho casillas vacías de la figura, para que uno de los números horizontales de tres cifras sea un número cuadrado (fila 1 o superior), el otro sea un cubo (fila 3) y los dos verticales sean números primos (columnas 1 y 3). Seguro que encuentra más de una solución, que ciertamente existe. ¿Podría añadir una condición más para que la solución fuera única?


Como en el artículo anterior, incluiré otro de los problemas que he publicado en Twitter y que me sugirió el profesor Joan Gómez, colaborador de esta web.


Problema 2. División de un cuadrado y área de un cuadrilátero
Observe la figura: Tomamos un punto interior de un cuadrado y lo unimos con los puntos medios de los cuatro lados. Se forman 4 figuras que son cuadriláteros. Si conocemos el área de tres de ellos, ¿cuál es el área del cuarto?

Solo le diré que no es necesario hacer grandes y tediosos cálculos algebraicos. Basta aplicar elementos de geometría para resolverlo.
Cuando lo haya resuelto piense en una posible generalización, es decir, ¿para qué otros cuadriláteros, además del cuadrado, repitiendo el mismo proceso será posible hallar el área de una de las partes, conocidas las otras tres?

Y todavía una generalización mayor: Tomamos un polígono regular y unimos un punto interior cualquiera con los puntos medios de los lados. Obtenemos 6 cuadriláteros. ¿Qué relación aditiva puede establecerse entre las áreas de todos los cuadriláteros? ¿Es necesario que el polígono sea regular o basta con otra condición menos fuerte?

Si no le salió el problema por métodos geométricos para el caso del cuadrado y quiere una pista, le propongo que resuelva este otro problema, algo más fácil y al mismo tiempo útil para resolver el nuestro: En un cuadrado tomamos un punto interior y lo unimos con los cuatro vértices, formando 4 triángulos. ¿Qué podemos decir de la suma de las áreas de dos triángulos opuestos por el vértice?

Problema 3. Estos días, en la red, abundan los acertijos que piden contar el número de figuras (triángulos y/o cuadrados principalmente) que hay en una figura dada. Aquí tiene dos de las figuras que me han llegado (las dejo en el idioma original que las recibí). La primera me la mandó mi amigo Jordi Majó, mientras que la segunda es el problema del día 11 del confinamiento, propuesto en Twitter por la UK Mathematics Trust.


¿Cuántos triángulos hay en la primera figura? En la segunda figura, ¿hay más o menos triángulos que en la anterior?

En la primera figura no habrá problemas de interpretación sobre el número de triángulos ya que todos los triángulos son distintos, pero en la segunda las cosas no son tan evidentes. ¿Se pide contar todos los triángulos que se pueden dibujar con las líneas de la figura, o bien solamente de triángulos distintos (en matemáticas diríamos no congruentes, que son aquellos que, al superponerlos de todas las maneras posibles, nunca coinciden) de modo que no contaremos aquellos que son traslaciones, giros o simetrías de otros? 

Para responder a la pregunta habrá que distinguir dos problemas: uno para hallar triángulos distintos, habrá unos pocos; y otro para hallarlos todos. Ahora tendremos muchos más, ya que si contamos solamente los triángulos formados por dos lados de un cuadrado pequeño y su diagonal, que son todos iguales, tendremos ya 16.

Finalizaré el artículo de hoy iniciando mi pequeño homenaje en esta sección, al gran matemático y creador de juegos de Liverpool John Horton Conway (1937-2020) que el pasado 11 de abril murió en Princeton, New Jersey, a causa del Covid-19. Su inmenso legado permanecerá durante mucho tiempo y nos mostrará el genio de este gran creador. Extraigo un problema de su fantástico libro, The Book of Numbers (John H. Conway y Richard K. Guy, Springer-Verlag, 1996). Prometo dedicarle muy pronto un artículo entero tanto en esta sección como en la de juegos y también en las biografías de grandes matemáticos.

Problema 4. La sucesión “audioactiva”. Considere la sucesión cuyos primeros términos son:

1
11
21
1211
111221
312211
13112221

Se trata de descubrir cómo se forma cada término a partir del anterior. Si quiere pensarlo un rato no siga leyendo. Cuando lo haya descubierto, o desista (en este caso se trata de un acertijo difícil), puede leer el comentario siguiente que, con toda seguridad le permitirá resolverlo si no lo había hecho todavía. 

El acertijo esconde, a mi parecer, una notable dificultad por el hecho de que un dígito puede tener dos significados: como objeto y como propiedad que expresa la cantidad de objetos. Con esta idea, y teniendo en cuenta que su nombre es “audioactiva”, trate de “leer” cada uno de los números para descubrir la ley de formación.

Suscríbase al newsletter

© 2019 JUEGOS Y DESAFIOS MATEMÁTICOS