Las matemáticas del contagio: epidemias y otros modelos exponenciales

Calentando motores: un caso hipotético

A modo de ejemplo, se introduce una hipotética situación de contagio con el fin de establecer una aproximación a un tipo de modelo matemático que permita simular el comportamiento de la epidemia. Para ello, supongamos que un individuo contagia exactamente a tres personas y al día siguiente cada una de estas tres personas contagia solamente a tres personas más y así sucesivamente. Tendremos la siguiente situación:

Contagiados primer día	Nuevos contagiados segundo día	Nuevos contagiados tercer día	Nuevos contagiados cuarto día		Nuevos contagiados el día n
1	3	9	27		3n-1
Total contagiados primer día	Total contagiados segundo día	Total contagiados tercer día	Total contagiados cuarto día		Total contagiados al cabo de n días
1	4	13	40		3n-1/2

En general, si el primer término lo denominamos a₁ (en el ejemplo a₁ = 1) y la razón de crecimiento la denotamos r (en términos matemáticos se denomina razón y en términos médicos se denota R₀), se obtiene el modelo:
a_n = a₁ · r^n-1 donde el término a_n indica el número de personas que se han infectado el día n y la expresión indica el total de infectados desde el inicio hasta el día n. Se puede avanzar que de forma discreta el modelo sigue el patrón habitual de una progresión geométrica.

El ejemplo anterior permite realizar preguntas del tipo:

a) ¿El décimo día cuántos infectados habrá?
b) ¿Y el total de infectados desde el primer día hasta el décimo?
c) ¿Cuántos días han de pasar, si no se toman medidas, para tener un total de 100000 infectados?

Basta un simple cálculo para predecir que el décimo día habrá a₁₀ = 1 · 3^10-1 = 19683 infectados, siendo el total de infectados . Si deseamos saber el tiempo para tener 100000 infectados el modelo nos remite a la resolución de la ecuación exponencial y cuya solución, mediante el uso de logaritmos o calculadora, es 11’1104; es decir pasados los 11 días se alcanza la cifra de 100000 infectados. Los resultados sugieren algunas reflexiones que llevan pronto a preguntas como: ¿Deben tomarse medidas? ¿De qué tipo? ¿El sistema sanitario se saturará? ¿Cuándo? Estas reflexiones son una pequeña lección para el lector de las consecuencias que puede ocasionar una epidemia.

Mejoremos el modelo: En la expresión a_n = a₁ · r^n-1 la variable n es un número natural, con lo cual tenemos un modelo discreto. A partir de él podemos considerar el modelo de manera continua introduciendo cualquier valor temporal x. Ahora podemos establecer el modelo de manera más general como la función:

g(x) = a₁ · r^x-1, y de forma más general todavía:

f(x) = K · (R₀)^x.

La importancia del valor R₀ es fundamental. Para visualizar la gráfica de este modelo fijaremos K = 1 y se observará el papel relevante de R₀ en el control epidémico. Con R₀>1 el aspecto del crecimiento es de la forma:


Con R₀<1 desaparece el crecimiento y la epidemia va disminuyendo


Como se aprecia, el comportamiento de las curvas es sumamente distinto en función del parámetro R₀. Lo más importante es poder disminuir el valor de R₀ hasta llegar a que sea menor que 1, lo que significa que cada persona no llega a infectar a una persona y la propagación se detiene por sí sola.

En síntesis, el modelo matemático preciso vendría determinado en función de dos variables independientes: R₀, que varía constantemente, y el tiempo t. Así, un modelo matemático más ajustado sería una función de dos variables de la forma:

f (R₀,t) = K · (R₀)^t con R₀ ≥ 0 y t ≥ 0

Una situación real: El caso concreto del COVID-19

En diversas epidemias se ha determinado experimentalmente una aproximación al factor R₀, tal como indicamos en la imagen, de alguna tipología de contagio epidémico. Según citan las fuente: OMS, ECDC, CDC, British Medical Journal (06/02/2020) y publicadas en la URL https://cutt.ly/ftKiM5m tenemos:

En un primer ciclo, los sujetos A contagian a los sujetos B, el número de contagios posibles a partir de cada sujeto recordemos que es el factor R₀:


Posteriormente, el crecimiento es de la forma:


En el anterior esquema se aprecia el crecimiento provocado por cada virus.

Para el sarampión, por ejemplo, R₀ se estima en alrededor de 15. Es decir, durante un brote de sarampión, una persona infectada infecta a un promedio de otras 15, si ninguna de ellas está vacunada. Para la varicela, el R₀ es aproximadamente 10. En el caso del coronavirus la estimación inicial de R₀ es del orden de 2,5. Si consultamos hemerotecas la gripe española de 1918 tenía un R₀ del 2,1.

En la primera fase se infectan cada vez más personas y cada vez más rápido. La velocidad de contagio depende del tamaño de R₀ y de otra variable fundamental: el tiempo que transcurre entre el momento en que una persona se infecta y el momento en que esa misma persona infecta a otra. En el caso del Covid-19 se estima que ese tiempo es de entre 4 y 14 días.

La principal preocupación en estos días (momento álgido de la pandemia) es reducir el valor de R₀, disminución que provocará una ralentización de la expansión. Y cuando R₀ se logra llevar a valores por debajo del valor crítico de 1, la difusión comienza a detenerse. A partir de ese momento la propia epidemia se asfixia.

Uno de los principales problemas a nivel sanitario es la saturación de los centros hospitalarios. El número de contagios que precisen ingreso hospitalario puede ser superior a la capacidad de los centros, y por ello es de máxima importancia tomar medidas restrictivas precisas y adecuadas tal como muestra el modelo plasmado en la gráfica:


Fuente: https://www.redaccionmedica.com/secciones/sanidad-hoy/coronavirus-cientificos-ccaa-colapso-sanitario-8793

El modelo de Gompertz

Un modelo clásico, de tipo exponencial, utilizado en el estudio de diversas epidemias es el denominado modelo de Gompertz (https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Gompertz).

Este modelo, que toma el nombre de Benjamin Gompertz (1779-1865), sirve para prever cuál será el comportamiento de la epidemia en los próximos días y semanas, por lo que ante una situación nueva como la de este coronavirus, los modelos matemáticos son válidos para previsiones a corto plazo. Viene determinado por la expresión:

f(x) = a · e ^-b·e-ct o bien por f(x) = a · e^-b·(e-ct-1) (modelo de Gompertz modificado). El parámetro a es el número inicial de células/organismos cuando el tiempo es cero (es decir, en el instante inicial del contagio); los parámetros b y c dependen de otros factores de tipo experimental. Nótese que si b tiende a infinito la curva tiende a cero, con lo cual se extingue la pandemia.

En la gráfica se muestra una pequeña aproximación realizada en Geogebra de la curva de Gompertz.


En la simulación dada por la imagen anterior, la curva empieza a disminuir su crecimiento a partir del día 25, aproximadamente, del inicio de la epidemia y suponiendo que durante este periodo de tiempo ha habido un confinamiento de la población.

Si aplicamos la curva de Gompertz a la evolución de la epidemia en el Estado Español durante el mes comprendido entre el 25 de febrero del 2020 y el 25 de marzo del 2020, se observa que el modelo se ajusta perfectamente a la realidad.


Los gráficos de la evolución del coronavirus en Cataluña y en España proporcionados por el Ministerio de Salud se pueden visualizar en https://www.elnacional.cat/ca/salut/coronavirus-espanya-evolucio_481311_102.html

Otros modelos más sofisticados requieren de conocimientos de ecuaciones diferenciales. Si se detecta una enfermedad o plaga que puede inmunizar contra la misma al individuo que la ha sufrido, la idea es averiguar la evolución de la enfermedad a lo largo de varios períodos (días, meses...) partiendo inicialmente de un número concreto de individuos infectados. Es el denominado modelo SIR, https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_SIR. En dicho modelo, en la descripción de las variables se tiene en cuenta que, en cada etapa t, la población se divide en tres grupos:

S(t) los individuos que son vulnerables, susceptibles de ser contagiados, I(t) los infectados y R(t) los inmunes. Denotando N(t) a la población total se establece:

N(t) = S(t) + I(t) + R(t). A partir de esta relación se realizan análisis rigurosos con epidemiólogos, médicos especialistas y matemáticos que conducen a la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales de la forma:

bajo ciertas condiciones iniciales, siendo m y c parámetros positivos.

Para profundizar en este tipo de modelo se aconseja la lectura del artículo «Modelos matemáticos en un problema de epidemias» (A. Vidal, F.J. Boigues, V.D. Estruch. Modelling in Science Education and Learning, Volume 9(2), 2016).


Referencias y fuentes consultadas

Se muestran algunos enlaces que pueden ayudar a complementar y profundizar la información expuesta.

1. https://www.covidvisualizer.com/ y https://cutt.ly/DtKSSR6/
En estas páginas puede observarse la propagación a nivel mundial de la pandemia en tiempo real.

2. https://www.washingtonpost.com/graphics/2020/world/corona-simulator/
Interesante estudio con simulaciones de la propagación del COVID-19.

3. https://covid19.isciii.es/
Información actualizada y diaria, incluyendo datos, de la evolución de la epidemia en el Estado Español. Página del Ministerio de Ciencia e Innovación.

4. https://catalunyaplural.cat/ca/5-grafics-actualitzats-per-seguir-levolucio-del-coronavirus-a-catalunya-espanya-i-el-mon/
Gráficos actualizados del estado de la pandemia a nivel internacional.

5. https://web.gencat.cat/ca/coronavirus
Página de la Generalitat de Catalunya con indicaciones y novedades en investigación. Incluye consejos a la población sobre comportamiento a nivel social.

6. https://cutt.ly/VtKDNxf y http://aquas.gencat.cat/ca/actualitat/ultimes-dades-coronavirus
Situación actual de todos los municipios de Cataluña, con cifras de infectados y probabilidades de ser infectado. También la incidencia de infección en cada territorio.

7. https://gabgoh.github.io/COVID/index.html?CFR=0.0343&D_hospital_lag=5&D_incbation=5.2&D_infectious=2.9&D_recovery_mild=13
Sofisticada calculadora “en línea” de la evolución de una epidemia. Se basa en el modelo SIR.