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Números felices y otras curiosidades numéricas


Empezaremos esta sección fijándonos en el número que corresponde al año actual, 2019, que aunque no es un número muy especial desde el punto de vista de sus propiedades matemáticas, resulta que pertenece a una de las más curiosas familias de números, llamada la familia de los números felices. Por ello, en esta sección hablaremos hoy de las características de la felicidad matemática. Antes, sin embargo, empezaremos por otras curiosidades que poco a poco nos llevarán a la ya mencionada felicidad.

Problema 1: Una curiosidad numérica.

Observe: 1/27 = 0,037037037..., mientras que 1/37 = 0,027027027.... ¿Bonito, verdad? Averiguar qué tienen de especial el 27 y el 37, y encontrar otras parejas de números que tengan relaciones similares. Esta curiosidad, podríamos explicarla, de manera general, diciendo que a un número le hacemos algo (en este caso considerar el inverso y expresarlo en forma decimal) de tal manera que si al resultado obtenido le hacemos la misma cosa, obtendremos el número inicial.

La relación anterior puede recordarnos a los números amigos, que son aquellos tales que la suma de los divisores propios de uno de ellos nos da el otro. El primer par de números amigos es el formado por 220 y 284 y ya era conocido por los antiguos pitagóricos, que asociaban a este par de números propiedades mágicas. En efecto, son dos números amigos puesto que, por un lado la suma de los divisores propios de 220 es: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284, y de la otra, la suma de los divisores propios de 284 es: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Otros pares de números amigos son: 1184, 1210; 2620, 2924; 5020, 5564; y 6232, 6368.

A partir de los números amigos, se puede establecer la idea de los llamados números sociables: un conjunto de tres o más enteros tales que el segundo sea igual a la suma de los divisores propios del primero, el tercero sea igual a la suma de los divisores propios del segundo y así sucesivamente hasta cerrar el ciclo, de forma que el primero sea igual a la suma de los divisores del último, forman lo que se denomina un conjunto o un ciclo de números sociables. La cantidad de números es el orden del ciclo. Así, todo ciclo de orden uno corresponde a un número perfecto y todo ciclo de orden dos corresponde a un par de números amigos. No se conocen ciclos de orden 3, pero sí de órdenes más grandes. Por ejemplo: 1 264 460, 1 547 860, 1 727 636, 1 305 184, forma un ciclo de orden 4, mientras que: 12 496, 14 288,15 472, 14 536, 14 264, es el ciclo de orden 5 formado por los menores enteros positivos que se conoce.

Siguiendo con la misma idea, si elegimos un número compuesto cualquiera, podemos definir la sucesión tal que cada término es la suma de los divisores propios del término anterior. Puede pasar que la sucesión acabe en 1 (cosa que sucederá siempre que se llegue a un número primo), forme un ciclo (se repita uno de los números) o no acabe nunca (todos los números de la sucesión sean diferentes). Se desconoce si la sucesión siempre acaba (en 1 o en un ciclo) o bien hay casos en que no acaba.

Problema 2: Los números felices.

Tomemos un número, por ejemplo, de dos cifras, elevamos cada cifra al cuadrado y sumamos los resultados; volvemos a elevar cada cifra del número obtenido y sumamos nuevamente. Vamos repitiendo el mismo proceso hasta que pase algo interesante. Pruebe con diversos números e investigue qué sucede al repetir este procedimiento.
Esta es una muestra de lo que sucede, si escogemos el número 44:

42 + 42 = 32; 32 + 22 = 13; 12 + 32 = 10; 12 + 02 = 1.

Los números como el 44, que acaban su recorrido en el 1, se llaman números felices. Desgraciadamente, como ya habrán comprobado, solo algunos números tienen el privilegio de ser felices. En otros casos entraremos en un bucle que nos impedirá llegar a 1. Podemos hacernos preguntas sobre estos números: cuántos hay (por ejemplo, de dos cifras), cómo pueden generarse una infinidad conociendo uno de ellos, etc. Cuando hayan agotado las preguntas relativas a los números felices, pueden probar qué sucede si en lugar de elevar las cifras al cuadrado las elevan al cubo.

Por cierto, ¿qué le sucede al número 2019? ¿Por casualidad será un número feliz? ¿Falta mucho tiempo para llegar al próximo año feliz?

Problema 3: números grandes y orden.

El sistema de numeración posicional decimal es uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas básicas. Una actividad que me gusta proponer, es la de ordenar números formados de diferentes maneras y sin necesidad de computarlos. Por ejemplo, con los 1000 primeros números naturales formamos varios números: sumándolos todos, sumando las cifras, multiplicándolos todos, multiplicando las cifras, colocándolos uno a continuación del otro: 123456789101112..., elevando cada uno al siguiente, etc., ¿cuál será el orden, de mayor a menor, de estos seis números?

Aun así, a veces puede ser interesante computar alguno de estos números. Por ejemplo, ¿cuántas cifras hacen falta para escribir los números naturales de 1 a 1000000? Si para hacer este cálculo empleamos un método organizado y estructurado, no será difícil encontrar cuál es la suma de todas estas cifras.

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