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Pasatiempos y problemas para el confinamiento


Llevamos ya bastantes días confinados en casa y siempre es bueno dedicar un rato cada día a pensar un pasatiempo matemático o un problema numérico, geométrico, lógico o de cualquier otro ámbito. Puede ser nuestra gimnasia mental diaria, necesaria en estos y en otros tiempos. Así pues, dedicaré este artículo a destacar propuestas que yo mismo y otros compañeros hemos publicado estos días en la red, además de algún otro problema nuevo.

Empezaré con el pasatiempo que publiqué en twitter el pasado 25 de marzo (@DeulofeuJordi) con motivo del aplazamiento de los Juegos Olímpicos que debían celebrarse el próximo julio de 2020.

Problema 1. Anillos olímpicos y números. Observe la figura con los 5 anillos olímpicos entrelazados; todos ellos determinan 9 regiones cerradas. Se trata de poner en cada una de ellas un número del 1 al 9 (sin repetir ninguno) de manera que la suma de los números que están dentro de cada círculo sea la misma para todos los círculos.


Antes de empezar a probar con distintos números, piense cómo puede saber cuál será la suma en cada círculo. Pronto encontrará que sólo hay 5 posibilidades (piense que hay 4 números que pertenecen a dos círculos y los otros 5 a sólo uno). Cuidado que, cuando tenga las 5 sumas posibles, no para todas hay una solución, pero sí para más de una.

A propósito de los anillos olímpicos, aquí tiene otro bonito problema, en este caso geométrico:

Problema 2. Círculos y regiones. Cuando dibuja una circunferencia determina dos regiones en el plano (la interior cerrada, y la exterior). Si dibuja dos circunferencias podrá obtener 3 regiones como mínimo (si los dos círculos no tienen intersección) o cuatro como máximo (si los círculos se cortan). ¿Cuántas regiones determinarán, como mínimo y cómo máximo, 50 circunferencias? Generalice para un número cualquiera.

El caso mínimo es muy fácil, pero tenga cuidado con el máximo, que parece muy fácil y no lo es tanto (una conjetura a partir de pocos casos lleva fácilmente al error).

La red, este descubrimiento que, además de habernos cambiado la vida, estos días de encierro nos sirve para conectarnos con el mundo, contiene una cantidad de información. Mirando el pasado 23 de marzo las efemérides del día observé que tal día como este hace 138 años nació la gran matemática Emmy Noether. Hace poco tiempo el matemático y divulgador Eduardo Sáenz de Cabezón ha publicado un libro que lleva por título: El árbol de Emmy: Emmy Noether, la mayor matemática de la historia.

Problema 3. Fechas formadas por números primos. A propósito del mismo día, el 23 de marzo, o bien 23/03, constaté que era el día 83 del año y que faltaban 283 días para su finalización. Y me dije, qué casualidad: tanto el 23 como el 3, como el 83 y como el 283 son números primos. La pregunta está servida: ¿existirán otros días que tanto su número, como el mes, como los días transcurridos y como los que faltan por acabar sean todos primos?

Rápidamente descubrirá que en un año “normal” esto no sucede nunca, porque si el año tiene 365 días, o los días transcurridos o los que faltan deben ser un número par (dos impares no pueden sumar 365). Así, esto sólo puede suceder en un año bisiesto con 366 días. Por lo tanto, se trata de hallar otras fechas de un año bisiesto como el nuestro.

A continuación, presento un conocido y sencillo problema que nos muestra la diferencia entre lo probable y lo seguro, como preludio de otro, algo más difícil.

Problema 4. Probable no, seguro. En un cajón de mi armario tengo 10 calcetines blancos y 10 negros. Meto la mano en el cajón y sin mirar voy sacando calcetines. ¿Cuántos tendré que sacar, como mínimo, para estar seguro de que tendré un par de calcetines del mismo color? Ahora suponga que hay calcetines blancos, negros, rojos y azules, 10 de cada color. En este caso, ¿cuántos tendré que sacar?

Ahora en lugar de calcetines tengo guantes: 10 blancos de la mano derecha, 10 blancos de la mano izquierda, 10 negros de la mano derecha y 10 negros de la mano izquierda. ¿Cuántos guantes tendré que sacar, sin mirar, para ponerme unos guantes del mismo color?

Problema 5. El museo de matemáticas de Nueva York, el llamado MOMATH, está proponiendo un problema semanal interesante. Uno de ellos es el siguiente: imagine que un candado cuya clave es de 3 cifras está estropeado, y basta sólo con adivinar dos de los tres números que forman la combinación (no necesariamente en la misma posición: por ejemplo, si la combinación es 1, 2, 3, bastará que usted ponga un número de tres cifras que contenga por lo menos un 1 y un 2, o bien un 1 y un 3, o bien un 2 y un 3. ¿Cuántos números tiene que escribir como mínimo, para estar seguro de que podrá abrir el candado?

Acabaré el artículo de hoy con un problema de números, bastante más difícil que los anteriores. Me lo propuso Ramón Villanueva, que a su vez se lo había propuesto Jaume Paradís, ambos profesores de matemáticas de la Universitat Pompeu Fabra, y me tuvo bastante tiempo entretenido.

Problema 6. Observe que el número 7 se puede escribir como diferencia de dos cuadrados, ya que 7 = 16 – 9 y 16= 42, mientras que 9 es 32. Se trata de encontrar cuáles son los números enteros positivos que pueden expresarse como diferencia de dos cuadrados y probar que para todos estos existe una (o varias) solución, mientras que para el resto no hay solución posible.

Una vez haya encontrado cuales son estos números, trate de determinar de cuántas maneras distintas, un determinado número puede expresarse como diferencia de cuadrados. Por ejemplo, 7 sólo admite una diferencia (la dada en el ejemplo anterior) mientras que 9 se puede expresar como 25-16 y también como 9-0.

Esto es todo por hoy. Que el confinamiento les sea leve y sobre todo, ¡cuídense mucho y que tengan buena salud!

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