Más juegos de NIM y otras variantes

 

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Resumen del juegoSiguiendo el artículo precedente de esta sección dedicada a los juegos de mesa, vamos a continuar proponiendo juegos de NIM o de NIMBUS, que, como decíamos en nuestro artículo anterior, difícilmente encontraremos en una tienda de juegos, por el hecho de que basta una cierta cantidad de fichas, generalmente de un solo color, y un par de jugadores para tener todo lo necesario. En general, la resolución de los juegos de hoy, es decir, la determinación de una estrategia ganadora, aunque posible, es algo más difícil que en los juegos del artículo anterior. Por ello, voy a exponer algunas ideas que ayuden a obtener las soluciones, al tiempo que mostramos las magníficas matemáticas que aparecen en ellas.

En el libro Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, Freeman and Co, 1989 (Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas, Labor, 1990), Martin Gardner se refiere a los juegos de Nim y lo hace a propósito de dos juegos que son isomorfos. Empieza presentando un juego de Rufus P. Isaacs (1960), matemático de la Johns Hopkins University, llamado acorralar la reina.

JUEGO 1 (2 jugadores): Acorralar la reina. Sobre un tablero de ajedrez se sitúa una reina en una casilla cualquiera. A su vez, cada uno de los dos jugadores va moviendo la reina tantas casillas como quiera (mínimo una), horizontalmente (hacia la izquierda), verticalmente (hacia abajo), o en diagonal (hacia la izquierda y hacia abajo). El jugador que consigue situar la reina en la casilla inferior izquierda del tablero es el ganador de la partida. ¿Para qué posiciones de la reina ganará el primero y para cuales el segundo jugador?



JUEGO 2 (2 jugadores): Tsyan-shidzi. Este juego fue propuesto y estudiado por el matemático holandés W. A. Wythoff, quien publicó su análisis el 1907. La leyenda dice que se trata de un antiguo juego chino denominado tsyan-shidzi (escoger piedras).

Poner sobre la mesa dos pilas de fichas, con una cantidad arbitraria en cada pila. A su turno cada jugador quita fichas de una sola pila (las que quiera, desde una hasta todas), o bien quita fichas de las dos pilas, pero en este caso debe quitar la misma cantidad de cada pila. El ganador es el que logra quitar la última ficha de la mesa.

¿Para qué valores (m, n) de fichas hay una estrategia para el primer jugador y para cuáles gana el segundo jugador?

Si buscamos una notación adecuada para las casillas del tablero se puede observar que los dos juegos son el mismo: numeramos las casillas, con dos números –coordenadas- desde (0,0), y ambos objetivos coinciden. También coinciden los movimientos: mover la reina a la izquierda (sacar fichas de una pila), mover hacia abajo (sacar fichas de la otra pila), mover en diagonal (sacar el mismo número de fichas de cada pila).

Quizá esta idea le pueda ayudar a hallar la estrategia ganadora de ambos juegos que, lógicamente, será la misma. Trate de hallarla antes de seguir leyendo, ya que a continuación voy a mostrar algunas ideas que permiten hallar la solución de ambos juegos.

Un primer análisis del juego muestra que hay muchas situaciones iniciales donde gana el primer jugador: algunas evidentes, como por ejemplo (m, 0), o bien (0, n) y también (m, m). Otras muchas se obtienen realizando una jugada que deje en posición perdedora al segundo jugador. Por ejemplo:

(1 , m) con m > 2, el primero gana dejando (1,2)
(2 , m) con m > 2, el primero gana dejando (2,1)

Eliminando simetrías, podemos hallar las situaciones iniciales que permitan ganar al 2º jugador: (1 , 2), (3 , 5), (4 , 7), (6 , 10), (8 , 13). A estos pares los llamaremos pares de Wythoff.

El patrón que permite hallar la solución de manera recurrente no es evidente, pero se intuyen ya propiedades interesantes del análisis de los primeros pares:

Al construir la secuencia de las posiciones ganadoras para el 2º jugador, podemos observar algunas cosas:

(1, 2) , (3, 5) , (4, 7) , (6, 10) , (8, 13) , (9, 15) , (11,18)...
+1        +2         +3         +4         +5         +6         +7

Todos los números aparecen una, y solo una vez. Dado el primer número de un par, el segundo se obtiene sumando al primero, el número que corresponde a la posición del par.

Anotemos algunos pares más de la secuencia:

(1, 2), (3, 5) , (4, 7) , (6, 10) , (8, 13) , (9, 15) , (11, 18) ,
(12, 20) , (14, 23) , (16, 26) , (17, 28) , (19, 31) , (21, 34)

Observamos que aparecen pares cuyos términos son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… y además que en el conjunto de pares figuran todos los términos de dicha sucesión. El primer par que no lo es, es el (4 , 7). Si ahora formamos la sucesión de Lucas (con la misma ley de formación que Fibonacci pero empezando con los números 4 y 7): 4 , 7 , 11 , 18 , 29 , 47... resulta que los pares: (4, 7), (11, 18) , (29, 47)... también pertenecen a la lista de los pares de Wythoff... Y así sucesivamente: 6 , 10 , 16 , 26 , 42 , 68... Nos da los pares: (6, 10) , (16, 26) , (42, 68), ¡que también son de Wythoff!

Los pares (1, 2) , (4, 7) , (6, 10) , (9, 15)… se llaman pares primitivos. Robert Silver demostró que eran infinitos. Si anotamos su número de orden en la sucesión de pares de Wythoff obtenemos: 1, 3, 4, 6... sucesión que coincide con el primer número de los pares de Wythoff. Esto se pone interesante: un juego que parecía un pequeño divertimento nos está permitiendo aflorar las sucesiones de Lucas (generalización de la llamada sucesión de Fibonacci).

Pero sin duda, el descubrimiento más interesante de Wythoff consistió en hallar un método no recursivo para determinar los pares del juego: es decir, ¿cómo determinar el par n, sin tener que hallar todos los anteriores?

Wythoff conjeturó, y luego demostró, que el par n está formado por los números:

( | n · Ф | , | n · Ф2 | ),

Es decir, para obtener el primer miembro multiplicamos el lugar que ocupa el par (n) por el número de oro (Ф), cuyas primeras cifras son: 1,6 y luego determinamos su valor absoluto. De manera análoga, hacemos lo mismo para el segundo par, pero multiplicando n por cuadrado de Ф.

Gardner afirma que Wythoff dijo que había descubierto este fantástico resultado por casualidad.

Por otra parte, el hecho que cada número natural aparezca una y solo una vez en el conjunto de los pares de Wythoff, junto con el resultado anterior, permite enunciar el siguiente Teorema:

«El conjunto de enteros positivos comprendidos entre dos múltiples de Ф y entre dos múltiplos del cuadrado de Ф coincide con el conjunto de los números naturales».

Finalizaremos al artículo con otro juego que está a medio camino entre los juegos de NIM y los de NIMBUS, porque si bien no importa la posición de las fichas, sí la de las casillas que estas ocupan. Conocí este juego a través del excelente divulgador de las matemáticas Eduardo Sáenz de Cabezón, quien lo propuso en una charla que impartió en Barcelona a propósito del 15 aniversario de ESTALMAT.

JUEGO 3 (2 jugadores): ¿Quién tiene más fichas? Fijamos una cantidad de fichas impar mayor que 6, por ejemplo 29. El primer jugador distribuye como quiere esta cantidad en un tablero de seis casillas, de modo que en todas haya por lo menos una ficha. Por ejemplo, elige esta distribución:



El otro jugador realiza la primera jugada, eligiendo una de las dos casillas de los extremos y quedándose con todas las fichas de la casilla. Ahora juega el primer jugador (el que hizo la distribución de las fichas al inicio) que debe quitar todas las fichas de una de las dos casillas de los extremos. El juego sigue así, de modo que a su turno cada jugador elige una de las dos casillas de los extremos (de las que todavía tienen fichas) y se las queda todas, hasta que se acaban las fichas de la última casilla seleccionada. El jugador que logra quedarse con el mayor número de fichas gana el juego.

Le propongo que encuentre una estrategia ganadora para el segundo jugador y que demuestre que, sea cual sea la distribución de las fichas realizada por el primero en su primera jugada, éste nunca puede ganar si el segundo aplica correctamente la estrategia ganadora.
Entretenimiento
Complejidad
Precio
Competencias matemáticas
Enlaces en la redhttps://es.wikipedia.org/wiki/Nim_(juego)

Propuesta didáctica


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