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Más investigaciones numéricas y una geométrica


En la misma línea del artículo anterior plantearemos hoy algunas pequeñas investigaciones numéricas. Sin embargo, los problemas inicial y final no seguirán esta línea: el primero porque es el que propuse para celebrar el día de las matemáticas, y el último por tratarse de un bonito problema geométrico.

Así, empezaré el artículo con el problema que propuse el pasado 14 de marzo en twitter @DeulofeuJordi con motivo del día internacional de las matemáticas, hasta ahora conocido como el día de pi. Más que un problema es un pasatiempo, pero su resolución no es tan sencilla como aparenta en un primer momento.

Problema 1. Observe la figura. Se trata de llenar las casillas vacías con números enteros positivos, de modo que en cada casilla vacía hay que poner un número que sea la suma de los números de las dos casillas que están debajo de esta.


Las cinco casillas de la primera fila forman el inicio de un conocido número. ¿Cuál es?

Problema 2. En el recientemente estrenado twitter asociado a esta página web, @JyDMatematicos, el día 18 de marzo se publicó un problema que consiste en formar un cuadrado mágico utilizando las fichas de un juego de dominó. Recuerde que un cuadrado mágico es aquel en el que tanto filas como columnas como las dos diagonales suman lo mismo. Primero (caso fácil) puede hacerlo con las 9 fichas siguientes: 0-3, 0-4, 0-5, 0-6, 2-5, 3-5, 3-6, 4-5, 5-6. Se entiende que en cada casilla de un cuadrado 3x3 ponemos una ficha, de modo que el número resultante en esta casilla sea la suma de los dos números que aparecen en la ficha. El valor de la suma de cada fila, columna o diagonal, conocido como constante mágica, será 21.

Este problema aparece en el magnífico libro Los enigmas de Moscú. 180 acertijos que han hecho historia de Boris Kordemsky, que ha sido publicado por Gedisa en la colección de libros para entrenar la mente asociada a esta página.

Ahora un poco (o bastante) más difícil: Tome 25 fichas de dominó (todas menos las fichas: 5-5, 5-6, 6-6) y con ellas forme un cuadrado mágico de 5x5. En este caso, no doy la constante mágica para que descubra un sencillo método para hallarla, conocidos los números que forman el cuadrado.

Problema 3. Un número curioso: la constante de Kaprekar. Tomemos un número cualquiera de cuatro cifras, no todas iguales. Ordenamos las cifras de mayor a menor y de menor a mayor para obtener dos números de cuatro cifras y los restamos. Repetimos el proceso. Al cabo de un cierto número de pasos llegaremos siempre a 6174 y el ciclo quedará cerrado, ya que, al repetir la operación resultará: 7641-1467 = 6174. Veamos el proceso para el número 7371:
7731-1377 = 6354
6543-3456 = 3087
8730-0378 = 8352
8532-2358 = 6174

Obsérvese del ejemplo anterior que, si en el número hay un 0, al ordenar las cifras de menor a mayor el número que resultará será en realidad de 3 cifras, pero lo tomaremos como si tuviera 4 empezando por 0.

El número 6174, se llama constante de Kaprekar, en honor a Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986), maestro y matemático aficionado indio, autodidacta, autor de magníficas recreaciones matemáticas que le llevaron a descubrir interesantes propiedades de los números, como la del número que lleva su nombre.

El número 6174, tiene también alguna otra propiedad, aunque ninguna tan notable como la anterior. Es un número de Harshad, ya que es divisible por la suma de sus cifras (en este caso 18) y también es la suma de las tres primeras potencias de 18:

183 + 182 + 181 = 5832 + 324 + 18 = 6174.

Antes de investigar sobre la propiedad inicial del 6174 y los números de 4 cifras (hacer un programa que permita determinar el número de pasos necesarios para un número dado, es un buen, aunque algo difícil, ejercicio), le sugiero que haga lo mismo con los números de tres cifras y descubra cuál es, en este caso, la constante a la que se llega siempre. Mientras que para los números de 4 cifras el número de pasos puede ser muy elevado, para los números de 3 cifras el número de pasos es de 6 como máximo.

Cuando haya finalizado su estudio sobre la propiedad anterior, le propongo que analice los llamados números de Harshad, también establecidos por Kaprekar, que son aquellos números que son divisibles por la suma de sus cifras. En realidad, esta cuestión puede estudiarse en cualquier base de numeración (nosotros nos referimos a la base 10). Dado que todos los números de una cifra los son, interesará empezar por los de dos cifras que son en total 23: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90.
Puede hacerse muchas preguntas sobre las características de estos números, su densidad, sus propiedades, etc. Y si quiere encontrar más información sobre estos números la encontrará en la sucesión: A005349 de la OEIS The On-line Encyclopedia of Integer Sequences.

Problema 4: Finalizaré el artículo de hoy con un bonito problema geométrico que me contó hace ya algún tiempo Joan Jareño http://calaix2.blogspot.com y que da lugar a desarrollar la creatividad dentro del mundo de las formas planas. Es difícil de creer que, hablando solo de cuadriláteros y de tan solo dos distancias se pueda generar un problema tan interesante. Su enunciado es el siguiente:

¿Cuántos cuadriláteros de forma diferente podemos construir, de tal manera que las longitudes de sus cuatro lados y sus dos diagonales (es decir, de todos los segmentos que unen los cuatro vértices) correspondan a dos y solo dos distancias distintas? Por ejemplo, un cuadrado es uno de estos cuadriláteros, ya que los cuatro lados tienen la misma longitud y las dos diagonales también, pero distinta de la longitud de los lados, por lo que en total tenemos dos longitudes.

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