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Euclides no vivió en Manhattan: Geometría urbana (I)


Un modelo matemático para organizar el espacio urbanístico

Si Euclides hubiese habitado en Manhattan, con toda probabilidad hubiese dudado de que “la distancia más corta es la línea recta”. Vamos a explicar cuál podría ser la geometría más adecuada para moverse en una ciudad cuyas calles forman una cuadrícula, conocida como Taxi Geometría. Para ello debemos modificar la definición de distancia entre dos puntos del plano, introduciendo la idea de taxidistancia, ya que entendemos que no podemos desplazarnos atravesando las casas, sino que debemos hacerlo siguiendo la cuadrícula dada por las construcciones.

Calles con encanto

En diversos lugares del mundo se organizan ciudades diseñando sus calles en ángulo recto, creando manzanas cuadradas o rectangulares. Este hecho se conoce en urbanismo como plan hipodámico en honor al arquitecto griego Hipodamo de Mileto (498-408 a. C.). Considerado el padre del urbanismo, ya organizaba las ciudades a través de un diseño de calles rectilíneas que se cruzaban en ángulo recto (planos ortogonales). En la actualidad, varias ciudades tienen esta estructura, pero seguramente la más famosa de todas sea el centro de Nueva York, conocido como Manhattan. Su famoso diseño cuadriculado proviene del denominado Plan de los Comisarios de 1811, que consistía en enfatizar la ortogonalidad. Las calles discurren de este a oeste, y las avenidas de norte a sur. En Nueva York, si alguien te dice que vayas a la 45 con la 4ta avenida, sabes exactamente a qué esquina se refiere. ¡Planificación urbana!




Es de justicia mencionar también el denominado Eixample (ensanche) de Barcelona como ejemplo de ciudad ortogonal. Este barrio es uno de los ejemplos más impresionantes de planificación urbana, diseñado por Ildefonso Cerdá (1815-1876), y destaca por su patrón de cuadrícula y sus diagonales, pero sus manzanas no forman un cuadrado perfecto sino un octágono (con las esquinas cortadas en chaflán). Se muestra el plano del proyecto y una vista de la configuración actual.



Si observamos los planos de estas ciudades, se aprecia que todas las configuraciones comparten un mismo patrón, un mismo modelo matemático, una estructura en forma de cuadrícula de manera que en ella es posible definir una distancia y construir una geometría distinta a la que usamos habitualmente, la euclidea, de tal modo que para desplazarnos de un lugar a otro circulemos por las calles sin traspasar edificios.

La Taxi Geometría: un modelo de geometría urbana

En la imagen se observa una cuadrícula en la que hemos señalado dos puntos y los hemos unido de distintas maneras: con una línea recta, lo que corresponde con la distancia habitual (la euclídea), o trazando un camino mínimo siguiendo las calles de la cuadrícula. Mientras la longitud de la recta es 6 veces raíz de 2, el resto de caminos tienen longitud 12. Esta longitud se conoce como la Taxi Geometría o taxidistancia (también denominada la distancia Manhattan) entre ambos puntos y constituye un ejemplo de una nueva geometría cuyas distancias no son las de Euclides.

Recordemos que la distancia usual (distancia euclídea) en el plano, que se define utilizando el teorema de Pitágoras, se establece de modo que la distancia entre dos puntos P y Q de coordenadas P = (x1, y1) y Q = (x2, y2) es d(P,Q) = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2). En contrapartida, la distancia mínima que nos mide el desplazamiento real efectuado en una ciudad en forma de cuadrícula está definida como: dT (P,Q) = |x2 - x1| + |y2 - y1|. La dT (P,Q) es la taxidistancia. Esta geometría fue ideada por Hermann Minkowski (1864-1909). La dT (P,Q) nos mide la cantidad de unidades andando o en taxi, moviéndonos en sentido vertical o horizontal realizados para desplazarnos de P a Q.

La longitud de la línea discontinua nos indica el valor de la distancia euclídea, siendo la suma de las longitudes de los segmentos laterales el valor de la distancia “del taxi”.

Si el extremo inferior indica el origen de coordenadas, podemos asignar al punto A las coordenadas (2,1) y al punto B (destino) las coordenadas (0,5). En este caso, aplicando las fórmulas anteriores, la distancia euclídea será de 4, 47 unidades y la taxidistancia será de 6 unidades.

La distancia de Manhattan es, en general, mayor que la distancia euclídea.

Imagine que se encuentra en una ciudad ubicado en un punto A de una cierta esquina y que tiene que desplazarse a otro punto B situado en otra esquina. ¿Cuál es la taxidistancia entre el punto A y el punto B? ¿Cuántos caminos distintos hay cuya distancia coincida con la taxidistancia?

Para simplificar el problema consideraremos que cada manzana mide una unidad. Si nos desplazamos en taxi se visualizarán las trayectorias alternativas más rápidas (que serán todas de 6 unidades) para desplazarse de A a B sin necesidad de “atravesar” los edificios.
Combinamos de cualquier manera movimientos verticales y horizontales con la idea de acercarnos al destino; en nuestro caso los desplazamientos serán hacia arriba y hacia la izquierda. Fíjese que la distancia recorrida es en todos los trayectos de 6 unidades.

Los diferentes itinerarios que puede recorrer para ir de A a B se reducen a 15 posibilidades.

Si se utiliza la expresión que nos proporciona el número de caminos posibles limitados a “n” movimientos hacia arriba y “m” movimientos hacia un mismo lado (permutaciones con repetición), se tiene que:


En el ejemplo mostrado, la aplicación de la expresión anterior nos da: caminos posibles. La resolución general de este problema puede hacerse con la expresión anterior, pero también situando los números combinatorios dados por el triángulo aritmético, o de Pascal, sobre los distintos cruces de las calles. En este caso concreto resultaría el número 6 sobre 2, cuyo valor es también 15.

La avenida menos conflictiva: una avenida de consenso

Supongamos que dos ciudades, con ayuntamientos A y B se unifican y las instituciones desean construir una vía pública, que denominamos “la gran Avenida”, con la condición de que cualquier vehículo que transite por dicha vía esté situado a la misma distancia de A que de B. ¿En qué lugar tendremos que ubicar dicha avenida? La pregunta se traduce como ¿cuáles son los puntos del plano que equidistan de A y de B? En geometría euclídea, este modelo equivale a construir la denominada mediatriz entre A y B (la perpendicular al segmento que une A y B y pasa por el punto medio de ambos). Es decir: calcular los puntos P que verifican d (P,A) = d (P,B)

Quizás este modelo no es válido en geometría urbana, quizás tengamos que derribar muchas viviendas… La solución óptima nos la proporciona la taxidistancia y con ella evitaremos derrumbes innecesarios, permitiéndonos construir la avenida menos conflictiva.

Para aclarar la situación lo ilustraremos con un ejemplo:

Supongamos que A está situado en el punto (0,0) y que B está situado en el punto (4, 2). El problema se reduce a calcular los puntos P que verifican dT (P,A) = dT (P,B). Observe en la imagen de su izquierda que la travesía verifica la condición. Si en ella considera un punto, fíjese que la distancia entre el punto escogido y A coincide con la distancia entre este punto y B. Note también que en esta propuesta no se sacrifica gran cantidad de núcleo urbano. En cambio, si observan en la imagen de la derecha, la solución planteada con la distancia usual será que la travesía cruzaría por el medio de numerosas manzanas (señalada con línea discontinua):


La taxidistancia proporciona numerosas alternativas urbanísticas, siendo de gran importancia en la planificación de rutas y ubicación de destinos de interés (puntos turísticos, hospitales, escuelas y servicios en general).

Una vez más, las matemáticas nos proporcionan alternativas en situaciones cotidianas y sociales. Deseamos que los ejemplos mostrados le ayuden a visualizar el papel relevante de la matemática en la sociedad.

Bibliografía

KRAUSE, E. F. (1987). Taxicab Geometry, Dover Pub, New York.

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