Fechas palindrómicas y pequeñas investigaciones numéricas


Estamos en 2020, un año que corresponde a un múltiplo de cuatro y, por lo tanto, año bisiesto y también olímpico, entre otras cosas. Seguramente ya sabe que no todos los múltiplos de 4 son bisiestos. En efecto, en la reforma juliana del calendario, llamada así en honor a Julio César (s. I a.C.), se estableció que todos los múltiplos de cuatro tendrían un día más, pero en 1582 la reforma gregoriana redujo levemente la cantidad de bisiestos, determinando que cada 400 años había que eliminar 3 años bisiestos, que corresponden a todos los años acabados en dos ceros, excepto si el número que resulta de quitar los dos ceros sigue siendo múltiplo de 4. Así, 1600 y 2000 fueron bisiestos, y lo será 2400, pero no lo fueron 1700, 1800 y 1900 y tampoco lo serán 2100, 2200 y 2300. Con ello se mejoraba el ajuste del calendario civil al calendario astronómico.

De entre las fechas curiosas resultan interesantes aquellas que son capicúa, también llamadas palindrómicas, y que corresponden a números que resultan iguales leídos de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Aunque 2020 no es capicúa, si lo ha sido el pasado 2 de febrero, fecha que puede escribirse como 02-02-2020, un magnífico capicúa de 8 cifras, que además lo es tanto en el mundo hispano como en el anglosajón (donde se escribe primero el mes y después el día), como también si se escribe en la forma 2020-02-02 (primero el año, después el mes y finalmente el día). Es decir, sea cual sea el orden en que escribamos la fecha, este dos de febrero ha sido una fecha capicúa.

Podemos hacerlo todavía más espectacular si añadimos la hora. Así el 20 de febrero de este año, a las 2 horas y 2 minutos, un reloj-calendario señalará este minuto con los siguientes números: 02h-02m-20-02-2020, un capicúa nada menos que de 12 cifras. Sin embargo, hace unos años, hubo otra fecha todavía más fantástica si la miramos desde el punto de vista de los números capicúa. A las 8 de la tarde y 2 minutos del 20 de febrero de 2002, un reloj-calendario señaló: 20:02-20-02-2002, capicúa de 12 cifras formado por tres capicúas iguales de cuatro cifras. Una cosa así solo sucede cuatro veces en toda la historia:

10:01-10-01-1001
11:11-11-11-1111
20:02-20-02-2002
21:12-21-12-2112


A propósito de los capicúas, hay un problema que me parece especialmente interesante por el resultado que se deriva: si elegimos un número de n cifras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que este número sea capicúa? Se entiende que hay que hallar esta probabilidad en función de n. A partir de este resultado, se puede establecer una función que para cada n (número de cifras) nos dé la cantidad relativa de números capicúas.

Siguiendo con los números capicúas, una investigación numérica relacionada con estos números es la siguiente: tome un número natural; invierta sus cifras y sume los dos números. Repita el proceso con el número obtenido. ¿Llegaremos siempre a un número capicúa? Por ejemplo, tomemos 84; invertimos y sumamos: 84 + 48 = 132; volvemos a invertir y a sumar: 231 + 132 = 363. En dos pasos ya obtenemos un capicúa. Algunos números, incluso si nos restringimos a los de dos cifras, requieren un número de pasos muy elevado. Este es el caso de 89, que requiere 24 pasos:

1. 89 + 98 = 187
2. 187 + 781 = 968
3. 968 + 869 = 1837
4. 1837 + 7381 = 9218
5. 9218 + 8129 = 17347
6. 17347 + 74371 = 91718
7. 91718 + 81719 = 173437
8. 173437 + 734371 = 907808
9. 907808 + 808709 = 1716517
10. 1716517 + 7156171 = 8872688
11. 8872688 + 8862788 = 17735476
12. 17735476 + 67453771 = 85189247
13. 85189247 + 74298158 = 159487405
14. 159487405 + 504784951 = 664272356
15. 664272356 + 653272466 = 1317544822
16. 1317544822 + 2284457131 = 3602001953
17. 3602001953 + 3591002063 = 7193004016
18. 7193004016 + 6104003917 = 13297007933
19. 13297007933 + 33970079231 = 47267087164
20. 47267087164 + 46178076274 = 93445163438
21. 93445163438 + 83436154439 = 176881317877
22. 176881317877 + 778713188671 = 955594506548
23. 955594506548 + 845605495559 = 1801200002107
24. 1801200002107 + 7012000021081 = 8813200023188

Sólo considerando los números de dos cifras ya puede realizar una interesante investigación. Podemos hacernos preguntas como: ¿cuáles son los números de dos cifras, no capicúas, que requieren menos pasos para llegar a un capicúa? ¿Cuáles son los que requieren más pasos? ¿Qué sucede con los números de tres cifras?

En un artículo anterior ya hablé de otra investigación similar a la anterior, la correspondiente a los números felices, una pequeña investigación numérica que, partiendo de un número y realizando ciertas operaciones, trataba de ver cuando se llegaba a 1 y cuando no. Hay muchos problemas similares a estos y uno de los más conocidos, y más interesantes, es la llamada conjetura de Collatz, también conocida como conjetura de Ulam, o el problema 3n + 1. Esta conjetura, formulada por Lothar Collatz, en 1937, afirma lo siguiente:

Sea n un número entero positivo; apliquemos a n la siguiente operación:
- Si n es par, realizamos la operación, n : 2
- Si n es impar, realizamos la operación, 3n + 1

Para cada n podemos considerar su órbita como la sucesión de números obtenidos al aplicar la operación de manera iterada partiendo de n. Por ejemplo, para n = 5, tendremos: 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1… y entramos en el ciclo 4, 2, 1. La conjetura afirma que 1 pertenece a la órbita de cualquier entero positivo, es decir, siempre habrá un momento en que la sucesión tomará el valor 1, o lo que es equivalente a decir que entrará en el ciclo 1, 4, 2. Por ejemplo, para n = 11, la sucesión tiene 15 términos hasta llegar a 1, que son: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, mientras que para n = 27, la sucesión tiene ya 111 números hasta llegar a 1, siendo el mayor 9232.

Se han encontrado diversos casos para los que la sucesión es corta y llega rápidamente a 1. Una vía productiva para hallar conjuntos de números que finalizan en 1 consiste en expresar los números en sistema binario y establecer patrones del tipo: 101, 10101, 1010101… que corresponden a los números: 5, 21, 85… Aunque la conjetura no ha sido demostrada, existen evidencias heurísticas de su validez dado que se ha verificado, mediante cálculos computacionales, para todo entero positivo menor que 260. Sin embargo, también ha habido intentos para refutar la conjetura y una manera de hallar un posible contraejemplo, al margen de hallar una órbita infinita, consiste en encontrar un ciclo distinto del único conocido (4, 2, 1). Si bien al analizar enteros positivos esto no ha dado resultado, sí aparecen cuando extendemos el problema a todos los enteros; en este caso, se han encontrado otros tres ciclos, al margen del trivial 0, que son -1, -2, -1, también -5, -14, -7, -20, -10, -5, y un tercero de 18 términos que se inicia en -17. En cualquier caso, la conjetura de Collatz es en la actualidad todavía un problema abierto.

Otra pequeña investigación, parecida a la anterior pero bastante más sencilla, y que le invito a descubrir, es la siguiente: tomamos un número entero y lo substituimos por el producto de sus cifras. Vamos repitiendo el proceso hasta llegar a un número de una sola cifra. Por ejemplo: 99; primer paso 9 · 9 = 81; segundo paso 8 · 1 = 8; finalizamos en dos pasos. En cambio, para 69: primer paso: 6 · 9 = 54; segundo paso 5 · 4 = 20; tercer paso: 2 · 0 = 0. En este caso hemos necesitado tres. Estos ejemplos son para números de dos cifras, pero igual sucede con los de tres o más cifras.

Podemos hacernos muchas preguntas: ¿terminaremos siempre en un número de una cifra? ¿Qué número de dos cifras (o de tres, o de cuatro) tendrá el recorrido más largo? Para un cierto número de cifras, ¿cómo se agrupan los que necesitan el mismo número de pasos para llegar a una sola cifra? A partir de un cierto número, ¿cuándo y cómo se puede generar otro que precise un paso más? Seguro que si adentra en el problema se le ocurrirán otras muchas preguntas de valor. A veces, en matemáticas, es más interesante formular buenas preguntas que hallar soluciones.

Conocí el problema anterior en el blog del amigo Joan Jareño: http://calaix2.blogspot.com/. En él cuenta que el problema es una creación de Neil Sloane (el autor de la OEIS, On-Line Encyclopedia of Integer Sequences). Al número de pasos necesarios para llegar a un número de una cifra se le llama persistencia multiplicativa y el número de una cifra en el que termina es la raíz multiplicativa. Así, el 69 tiene una persistencia multiplicativa 3 y una raíz 0.

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