Una visita al mercado


Se presenta un ejemplo sencillo que construye el producto de matrices como modelo matemático que aparece en la resolución de una situación cotidiana.

Situación

Haremos un sencillo estudio para averiguar, entre dos supermercados, cuál de ellos es el más económico para realizar las compras habituales. Para ello supondremos que se efectúa la compra dos días a la semana con los productos y cantidades que indicamos en el cuadro:


Lomo (kg) Naranja (kg) Cogollos de lechuga (Bandeja de 3 piezas)
1er Día

1

3

1

2º Día

3

2

2


Esta tabla la podemos escribir como:

Más abajo se indican los precios que ofrecen dos conocidos supermercados para dichos productos. La pregunta es: ¿cuál es el supermercado más económico?

Calcularemos por cada supermercado:
- ¿Cuál es el gasto del primer día?
- ¿Cuál es el gasto del segundo día?
Calcularemos globalmente:
- ¿Cuál es el supermercado más económico para cada día?

Disponemos de la información de precios de cada supermercado:

Primer hipermercado

Precios del 5 al 12 de octubre del 2019


Podemos visualizar la relación de precios en la tabla mostrada a continuación:


AlcampoLomo (kg) Naranja (kg) Cogollos de lechuga (Bandeja de 3 piezas)
Precio

6,49 €

1,25 €

0,75€


Segundo hipermercado

Carrefour, precios del 5 al 12 de octubre de 2019



CarrefourLomo (kg) Naranja (kg) Cogollos de lechuga (Bandeja de 3 piezas)
Precio

5,90 €

0,85 €

1,25€


Resolución: Cálculos cotidianos de los gastos en cada supermercado


En lenguaje cotidiano, como consumidores, se realizan los cálculos como se muestra a continuación:

Alcampo
1er Día → 1 · 6,49 + 3 · 1,25 + 1 · 0,75 = 10,99 €
2o Día → 3 · 6,49 + 2 · 1,25 + 2 · 0,75 = 23,47€

Carrefour
1er Día → 1 · 5,90 + 3 · 0,85 + 1 · 1,25 = 9,70€
2o Día → 3 · 5,90 + 2 · 0,85 + 2 · 1,25 = 21,90€

Formalmente lo podemos escribir como:

Alcampo
1er Día → (1, 3, 1) · (6’49, 1’25, 0’75) = 10’99€
2o Día → (3, 2, 2) · (6’49, 1’25, 0’75) = 23’47€

Carrefour
1er Día → (1, 3, 1) · (5’90, 0’85, 1’25) = 9,70€
2o Día → (3, 2, 2) · (5’90, 0’85, 1’25) = 21’90€

Notamos que lo que estamos realizando es una operación entre matrices que se denomina producto escalar euclidiano.

Globalmente, podemos escribir el gasto efectuado en cada supermercado como:

Alcampo


Carrefour


Notamos que lo que hacemos ahora es el producto de una matriz por un vector columna.

Podemos agrupar las tablas como:

Q: Cantidades de productos


Lomo (kg) Naranja (kg) Cogollos de lechuga (Bandeja de 3 piezas)
1er Día

1

3

1

2º Día

3

2

2




P: Precios de cada supermercado


AlcampoLomo (kg) Naranja (kg) Cogollos de lechuga (Bandeja de 3 piezas)
Precio

6,49 €

1,25 €

0,75€



CarrefourLomo (kg) Naranja (kg) Cogollos de lechuga (Bandeja de 3 piezas)
Precio

5,90 €

0,85 €

1,25€




D: Tabla de gastos


Alcampo Carrefour
Gasto 1er Día

10,90€

9,70€

Gasto 2º Día

23,47€

21,90€





De esta manera podemos introducir lo que denominamos producto de matrices.

El siguiente modelo matemático, denominado producto de matrices, relaciona las cantidades Q, precios P y gastos D:


En torno a la comparativa inicial de los dos hipermercados se puede afirmar que la cadena de venta de productos más recomendable es Carrefour. El gasto total en Carrefour representa un ahorro considerable respecto de Alcampo.

A partir del ejemplo anterior se pueden proponer actividades con situaciones análogas del tipo:

Si conocemos el gasto total D y las cantidades Q, determinar la tabla de precios P de cada producto. De esta forma aparece por el concepto de matriz inversa. Con ello se pueden realizar también propuestas de otras situaciones e incluso de algunos ejercicios tradicionales cuya resolución puede efectuarse con Geogebra o similar.

En síntesis, es una actividad óptima para introducir de manera natural el producto de matrices como modelo matemático aplicable a situaciones cotidianas y a su vez, como recurso para introducir conceptos de algebra lineal.

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