Rafael Bombelli (1526 – 1573)
A principios del siglo XVI, a causa de dificultades políticas, un pequeño propietario de Borgo Panigale, al norte de Bolonia, cambió su apellido original de Mazzoli por el de Bombelli y se trasladó a Bolonia, donde se dedicó al comercio de lanas. Se casó y tuvo seis hijos, el mayor de los cuales fue Rafael.
No disponemos de información sobre la formación académica de Rafael. Sabemos que su preceptor fue Pier Francesco Clementi di Corinaldo, que fue empleado de la Cámara Apostólica en el drenaje de las marismas del rio Topino, a unas 100 millas de Roma,1 y que se consideraba ingeniero. Sin embargo, debemos detenernos un momento en esa definición, que más adelante se aplicará al propio Bombelli; en el siglo XVI las posiciones científicas o profesionales no estaban definidas como lo están en nuestros tiempos. Las profesiones de ingeniero, arquitecto, matemático, agrimensor o físico estaban mezcladas completamente, por lo que sería más exacto hablar de hombres de ciencia en general, y Bombelli es un buen ejemplo de ello.
No tenemos datos sobre el carácter ni la personalidad de Bombelli; sólo sus obras nos hablan de él y, en consecuencia, nos vemos obligados a especular sobre los caminos que lo llevaron a conocer el trabajo de sus contemporáneos. De hecho, el norte de la actual Italia era en el siglo XVI un hervidero de avances en todos los campos, y Bolonia, con la universidad más antigua de Europa, fundada en el siglo XI, era uno de los centros culturales más importantes del Renacimiento italiano. En todo caso, no parece que Bombelli estudiase en dicha universidad.
En su vertiente profesional, la mayor parte de su vida trabajó como empleado del patricio romano Alessandro Rufini, obispo de Melfi y favorito del papa Pablo III. Sabemos que trabajó en la puesta en cultivo de las marismas de Val di Chiana, en la provincia de Arezzo, un centenar de kilómetros al sur de Florencia. Los trabajos se suspendieron en algún momento entre 1555 y 1560, por lo que es razonable suponer que fue en este período en el que Bombelli trabajó en la que sería su obra, el Álgebra, de la que hablaremos más adelante. Su trabajó hizo aumentar su reputación como ingeniero, y
"lo llevó a convertirse en uno de los consultores en un proyecto propuesto para drenar una parte de los pantanos de Pontine durante el reinado de Pío IV (1559-1565). El historiador Nicolai, en su De bonificamenti delle Terre Pontine (1800), dice que el trabajo debía haber sido dirigido por Rafael Bombelli, «famoso entre los ingenieros hidráulicos por haber drenado con éxito las marismas de Val di Chiana»." 2
¿Cómo una persona sin lo que hoy en día llamaríamos formación universitaria, dedicado a un trabajo eminentemente práctico, produce una de las obras capitales del Renacimiento italiano y, como veremos más adelante, se convierte en el inventor de los números complejos? Jayawardene lo explica con toda claridad:
"Rafael Bombelli creció en una Italia que participaba activamente en la producción de obras de aritmética práctica. Luca Pacioli, autor de Summa di arithmetica, geometría, proportioni et proportionalita (1491), había dado una conferencia en Bolonia a principios de siglo. Igual que Scipione del Ferro, ciudadano de Bolonia y uno de los matemáticos más destacados de la época. Sus sucesores, Cardano, Tartaglia y Ferrari, que intentaban resolver las ecuaciones cúbicas y bicuadradas, vivían y trabajaban en las ciudades vecinas del norte de Italia. La Practica arithmeticae de Cardano se publicó en 1539 y fue seguida en 1545 por su gran tratado sobre álgebra, el Ars magna, que proporcionó los métodos de del Ferro y Ferrari para resolver las ecuaciones cúbicas y biquadráticas, respectivamente. En 1546, la controversia entre Cardano y Tartaglia se hizo pública con la aparición de los Quesiti et inventi diversi de este último. Copias de los Cartelli di mathematica di sfida (1547-1548), intercambiadas entre Ferrari y Tartaglia, se distribuyeron en las principales ciudades de Italia. Tal era el clima en el que Bombelli concibió la idea de escribir un tratado sobre álgebra. Sintió que ninguno de sus predecesores, excepto Cardano, había explorado el tema en profundidad; pero Cardano, pensó, no había sido claro en su exposición. Por lo tanto, decidió escribir un libro que permitiera a cualquiera dominar el tema sin la ayuda de ningún otro texto. La obra, escrita entre 1557 y 1560, fue una exposición sistemática y lógica del tema en cinco partes, o libros." 3
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Cuando Bombelli trabajaba en las marismas de Pontine, tuvo la oportunidad de conocer los trabajos de Diofanto, que se encontraban en la Biblioteca Vaticana. Parece que el objetivo inicial fuera el de traducir dicha obra, pero el proyecto no se llevó a término. En todo caso, la obra de Bombelli muestra de manera clara influencias del autor griego.
Bombelli fue el último de los algebristas del Renacimiento italiano. Su obra influyó decisivamente en la de Stevin o de Adrianus Romanus. Murió en 1572 y en el mismo año se publicaron los tres primeros volúmenes de su obra.
El libro I, cuya portada reproducimos, es un tratado de aritmética, y en él observamos una de las aportaciones más importantes del autor: la notación algebraica más evolucionada del momento. A título de ejemplo reproducimos el principio del libro:
"Definición del número cuadrado: el producto de todos los números por sí mismos multiplicados es un número cuadrado, como son 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100, los cuales nacen de la multiplicación de cada uno por sí mismo (…) es decir, que 2 es el lado de 4, 3 es el lado de 9, (…) y así sucesivamente." 4 |
Conviene constatar que define raíz cuadrada –como todas las otra raíces- no como un algoritmo sino como el lado de un número no cuadrado, el cual es imposible de poder nombrar, pero que se dice “raíz sorda” o bien indiscreta, como sabemos,5 y a continuación indica la manera de representarla. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 5 se indicaría como R.q.5. Especialmente interesante es el hecho de que en este libro hallamos por primera vez el desarrollo de raíces cuadradas por fracciones continuas, como hará más adelante P. Cataldi (1613), que desarrollará la teoría de las fracciones continuas. Según A. Mieli, es probable que el método no fuera original de Bombelli sino que fuera ya conocido por la escuela boloñesa de la época.
En este libro I encontramos una de las aportaciones principales de Bombelli: continuando con la descripción de los distintos tipos de raíces cita que, al buscar en el libro II la solución de una ecuación cúbica, aparecen unas raíces que tienen en su algoritmo operaciones distintas de las otras, y de distinto nombre. Se refiere al caso de que la diferencia incluida en el radicando sea negativa. Como el resultado no puede llamarse más ni menos, decide llamarlo más de menos (“più di meno”) cuando sea para sumar, y menos de menos (“meno di meno”) para restar. Indica que esta operación parecerá a muchos más sofística que real, y esta opinión también habría tenido yo, hasta que he encontrado su demostración (…). 6
Tabla del producto de imaginarios, y su traducción a nuestro lenguaje |
+1 · i = i
-1 · i = -i
+1 · (-i) = -i
-1 · (-i) = i
i · i = -1
i · (-i) = 1
-i · i = 1
-i · (-i) = -1 |
Conviene aclarar, como se apresura a hacer el propio Bombelli, que para él estos “números” no tienen de ninguna manera entidad propia, sino que son meros instrumentos de cálculo para la búsqueda de soluciones de una ecuación. Explica que estas raíces siempre van acompañadas por su conjugada, y que, por tanto, nunca me ha ocurrido tener que operar la una sin la otra.
En el libro II está más cerca de lo que nosotros llamamos álgebra. En él introduce y define la simbología de lo que nosotros llamamos incógnitas, y les da nombres sin apenas referentes geométricos. Lo que nosotros llamamos incógnita para Bombelli es el tanto. El cuadrado de la incógnita recibe el nombre de potenza… y así sucesivamente. Ello le permite dedicar este segundo volumen a la resolución de ecuaciones de grados 2, 3 y 4. También es especialmente interesante su método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, conocido ya con anterioridad. El libro III contiene una amplia colección de problemas que resuelve con la ayuda de los instrumentos que ha presentado en los dos libros anteriores.
A principios del siglo XX, en 1923, un matemático boloñés, Ettore Bortolotti, descubrió en la biblioteca de la universidad de dicha ciudad los manuscritos de los libros IV y V del Álgebra de Bombelli, y los publicó. Es curioso comprobar que dichos libros difieren mucho del estilo de los tres primeros que fueron publicados, lo que hace pensar que probablemente estaban aún en fase de elaboración.
Podemos considerar a Bombelli como un precursor de lo que tenía que ser el gran renacimiento de las ciencias en el siglo XVII. En algunos aspectos, especialmente en los libros IV y V, podemos considerar que fue más allá que algunos de los que le sucedieron.
1 S. A. Jayawardene. "Bombelli, Rafael." Complete Dictionary of Scientific Biography. Encyclopedia.com. 3 May. 2019 .
2 Op. Cit.
3 Op. Cit.
4 Paradís / Miralles de I. / Malet. El àlgebra en el período renacentista. La recuperación de los clásicos griegos. Ed. PPU. Barcelona, 1989.
5 L’algebra, opera di Rafaele Bombelli, divisa in tre libri. Bolonia, 1572.
6 Op. cit. p. 169.