Paradojas, falacias y falsas demostraciones

Una paradoja es una afirmación, una cuestión o un problema que a primera vista parece falsa, pero es cierta; o al revés, que parece verdadera, pero es falsa. También hablamos de paradoja cuando su enunciado presenta contradicciones. En matemáticas hallamos muchas paradojas, algunas simples de resolver y otras de gran complejidad, especialmente las relacionadas con la lógica.

1. ¿Paradojas sencillas o simplemente bromas matemáticas?

1.1. Comiendo faisanes. Dos padres y dos hijos comen en total 3 faisanes y resulta que cada uno de ellos se ha comido un faisán entero. ¿Cómo puede ser? (Tartaglia, quesiti e inventione diversi, 1546).

Un clásico acertijo con carácter de paradoja: lo primero que pensamos es que no puede ser porque entre 4 y 3 no puede establecerse una correspondencia uno a uno… ¡A menos que resulte que dos padres y dos hijos no sean cuatro personas!

1.2. La herencia. Un hombre deja 35 caballos en herencia a sus tres hijos, diciéndoles que el mayor se quedará 1/2, el mediano 1/3 y el pequeño 1/9. Como no los pueden repartir bien, un hombre que pasaba por allí les dice: “os dejo mi caballo y tendréis 36, y ahora sí que los podréis repartir bien”. Y añade: “Por cierto, una vez hecho el reparto os sobrarán dos caballos que me quedaré yo: un porque es el mío y el otro como recompensa por haberos dejado mi caballo y haber podido hacer el reparto a gusto de todos”. ¿Cómo puede ser?

Otra sencilla y antigua paradoja, cuyo resultado sorprende en el primer momento, hasta que nos damos cuenta que el problema está en la formulación de la herencia, ya que damos por supuesto que si se reparte una herencia, se reparte todo lo que hay en la misma.

1.3. El mentiroso. Una persona dice: "Estoy mintiendo". Esta frase, ¿es cierta o es falsa? ¿Por qué?

Una formulación sencilla de otra clásica paradoja lógica. Una cosa es una proposición y otra su significado y, a veces, si no hacemos distinción, aparecen contradicciones como en este caso. Al final del artículo plantearemos otras paradojas lógicas célebres como la del barbero, planteada por Bertrand Russell.


2. Falsas demostraciones

2.1. Falsa igualdad de medidas. Escribimos las dos igualdades siguientes:

Multiplicamos las dos igualdades (miembro a miembro) y obtenemos:
Igualdad que es manifiestamente falsa. ¿Dónde está el error?
¿Qué sucede cuando multiplicamos las dos igualdades, si tenemos en cuenta que lo que hay que multiplicar son magnitudes?

2.2. Demostración de que 1 = 2. ¿En qué paso está el error de esta demostración?


¿Qué hacemos en el cuarto paso?
La “famosa” división por cero. No es posible realizar esta operación (no tiene sentido, ni es posible hallar un resultado), y si lo hacemos deducimos resultados que son claramente falsos.

2.3. Demostración de que 0 = 1. ¿Dónde está el error en esta demostración?


Aquí el error es más sutil: ¿qué hacemos al cambiar los paréntesis?


3. Paradojas geométricas

3.1. El recorrido del cazador. Un cazador sale de su cabaña y hace el siguiente recorrido: camina 1 km hacia el Sur, 1 km hacia el Este y 1 km hacia el Norte. Resulta que después de hacer este recorrido se encuentra justo en la cabaña de donde había salido. ¿Cómo puede ser? ¿En qué lugar se encuentra la cabaña? El problema tiene: ¿ninguna solución, una solución o una infinidad de soluciones? ¿Por qué?

Más que una paradoja (inicialmente podemos pensar que no tiene solución) el interés de este problema reside en el número de soluciones. En efecto, cuando hemos hallado una solución pensamos que ya tenemos el problema resuelto, o dicho de otra manera, que esta solución es la única que resuelve el problema. Pero resulta que, pensando un poco (o bastante) más, descubrimos que el número de soluciones es infinito, y que todas estas soluciones se encuentran muy alejadas de la primera solución hallada, la que inicialmente suponíamos que era única.

3.2. La cuerda que rodea la Tierra. Supongamos que la Tierra es una esfera perfecta y alrededor del ecuador ponemos una cuerda (formará una circunferencia que estará tocando el suelo). Cortamos la cuerda, le añadimos un metro y hacemos una nueva circunferencia concéntrica con la anterior. ¿Cuánto se separará esta cuerda del suelo? Si hacemos lo mismo con una pelota de tenis, ¿qué pasará?

En este problema, la intuición nos juega una mala pasada. ¿Quién no ha pensado, inicialmente, que la separación en el caso de la esfera terrestre era muy pequeña, mientras que en la pelota era bastante mayor? Un razonamiento sencillo nos llevará a ver que dicha separación depende, únicamente, de la cantidad de cuerda añadida.


4. Las paradojas del infinito

4.1. Un hotel con infinitas habitaciones. Un hotel que tiene infinitas habitaciones está todo lleno, es decir, está ocupado por infinitas persones que llenan todas las habitaciones. De repente llegan al hotel infinitas personas y el responsable del hotel les dice: el hotel está lleno, pero si esperan un momento haré algunos cambios y encontraremos habitaciones para todo el mundo. ¿Cómo puede ser?

La paradoja proviene de la aplicación de un resultado aplicable a los conjuntos finitos pero no a los infinitos y que aplicamos al aparejar los elementos de un conjunto (habitaciones) con los de otro (personas). Si estos conjuntos son finitos, no es posible acomodar a nuevas personas en el hotel, pero si son infinitos, sí; para ello, basta con encontrar la manera de cambiar a las personas que ocupan todas las habitaciones, para lograr “vaciar” una infinidad de ellas.

4.2. Aquiles y la tortuga. Aquiles, el héroe de la Ilíada, es un guerrero veloz y la tortuga, como es conocido, es un animal muy lento. La tortuga le dice: “yo me adelantaré unos metros y tú, por mucho que corras, no me podrás alcanzar nunca”. Este es el razonamiento de la tortuga: “Si los dos avanzamos en la misma dirección, tú, antes de atraparme, deberás llegar al lugar donde yo estaba cuando hemos empezado a caminar, pero entonces yo ya estaré un poco más adelante. Ahora, para atraparme, deberás llegar donde yo estaba y cuando llegues, yo ya estaré un poco más adelante... y así infinitamente, ya que siempre deberás pasar por donde yo era estaba cuando tú llegaste al sitio anterior. Por eso, por mucho que corras, nunca me podrás atrapar”.

Bonita y celebre paradoja, basada en otra idea intuitiva falsa: la suma de infinitos números debe ser infinita. Esto, evidentemente no es así y podemos encontrar muchos ejemplos. Por ejemplo, consideremos la suma: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +… Esta suma, si el número de términos es finito, por grande que este sea, siempre será menor que uno. Concretamente, si el último término es 1/2n, será 1 – 1/2n. Pero cuando el número de sumandos es infinito, la suma es exactamente igual a 1.


5. Otras paradojas

5.1. Una paradoja en la novela Don Quijote de la Mancha.En el capítulo 51 del segundo libro, Cervantes expone una paradoja de la siguiente manera: un forastero plantea a Sancho Panza, gobernador de la ínsula Barataria, un caso “algo dificultoso”. En el lugar que une dos términos de un señorío se ha instalado un puente. El dueño de un puente impuso la siguiente ley: “Si alguno pasare por este puente de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurase verdad, déjenle pasar; y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que allí se muestra”. Sucedió que un hombre juró “que iba a morir en aquella horca que allí estaba, y no a otra cosa”. Los jueces dijeron: “si a este hombre lo dejamos pasar libremente mintió en su juramento y, conforme a la ley, debe morir; y si le ahorcamos, él juró que iba a morir en aquella horca y, habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre. Pídese a vuestra merced, señor gobernador, que harán los jueces de tal hombre, que aun hasta ahora están dudosos y suspensos”.

Tras varios intentos por solucionar la cuestión, Sancho Panza decide dejar libre al hombre, después de hallar los mismos argumentos para ahorcarle que para no hacerlo, “pues siempre es alabado más el hacer bien que mal”.

La contradicción en este caso está entre la ley y la frase pronunciada por el hombre, contradicción que impide el cumplimiento de la ley. Obsérvese que si hubiera dicho: “vengo para atravesar libremente el puente”, ahora tendríamos una indecisión puesto que tanto podrían dejarlo pasar por haber dicho la verdad, como ahorcarlo por haber dicho una mentira. La diferencia es que antes no era posible cumplir la ley y ahora ambas posibilidades cabrían dentro de la ley.

5.2. La paradoja del barbero (Bertrand Russell). De todas las paradojas lógicas, aquella que seguramente más afectó a los fundamentos de las matemáticas fue la planteada por Bertrand Russell y conocida como la paradoja del barbero; en realidad se trata de una formulación divertida que trata de ejemplificar un problema lógico que encontró al analizar la consistencia de la teoría de conjuntos.

La paradoja puede formularse de la siguiente manera: «En un pueblo, el barbero ha colocado en la puerta de entrada a la barbería el siguiente cartel: “Yo afeito a todos los hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos, y sólo a éstos”.»

La paradoja se presenta al considerar que el barbero es un hombre del pueblo y hacerse la pregunta: “¿Quién debe afeitar al barbero?”. La contradicción resulta clara: si el barbero se afeita a sí mismo incumple la proposición del cartel y si no lo hace, también.

Con esta paradoja, Bertrand Russell llamó la atención sobre ciertos conjuntos que parecen incluirse a sí mismos. Por ejemplo, el conjunto que incluye a todos los conjuntos que no son manzanas, se incluye a sí mismo, porque él mismo no es una manzana. Entonces, consideremos el conjunto de todos los conjuntos que no se incluyen a sí mismos: este conjunto, ¿es un elemento de sí mismo? Cualquiera que sea la respuesta, nos lleva a una contradicción.

En 1902, Russell mandó una carta a Gottlob Frege, justo cuando éste iba a publicar el volumen II de su obra Los fundamentos de la aritmética, en la cual creía que había desarrollado una teoría de conjuntos que podía servir como una fundamentación lógica de las matemáticas; pero en esta teoría utilizaba precisamente el conjunto de todos los conjuntos que no se incluyen a sí mismos. Con la paradoja, Russell acababa de encontrar una contradicción en la teoría de Frege.