Los pequeños juegos de estrategia son auténticos problemas matemáticos

El análisis de un juego es a menudo un buen problema de matemáticas y algunas veces, como veremos hoy, de bastante dificultad. Este ir y venir, de los juegos a las matemáticas y de las matemáticas a los juegos, es un buen ejercicio que puede ser muchas veces matemáticamente productivo y, en general, altamente satisfactorio. Por este motivo, dedicaré la sección de hoy a plantear cuatro pequeños juegos de estrategia que he conocido en los últimos meses, procedentes todos ellos de fuentes muy diferentes.

Problema/juego 1. Footsteps, o quién estira mejor la cuerda.

Brain Games es el título del libro David Pritchard que me dio a conocer hace poco tiempo el amigo Oriol Comas, que acababa de descubrirlo. Una vez leído, a los dos nos vino a la cabeza la misma pregunta: ¿cómo puede ser que se nos hubiera escapado esta pequeña joya, que ya tiene 37 años? Comenzaremos con un ejemplo de un juego para dos jugadores propuesto en este libro.

En un tablero de siete casillas ponemos una única ficha en el centro. Un jugador, al ganar un turno, moverá la ficha hacia la derecha y el otro, cuando gane, moverá la misma ficha hacia la izquierda. El jugador que consiga llevar la ficha al extremo de su lado, es decir, a una distancia 3 del centro, será el ganador de la partida. Dicho de otro modo, para ganar una partida hay que ganar tres turnos más que el otro jugador.

Al comenzar el juego cada jugador tiene 30 puntos; las jugadas son simultáneas, es decir, los dos jugadores dicen, en el mismo momento (pueden anotarlo en un papel), la cantidad de puntos que invierte cada uno de ellos en ese turno (mínimo 1 punto y máximo todos los puntos que tenga en ese momento). El jugador que ha invertido más puntos en el turno gana la jugada y avanza la ficha una casilla hacia su lado. La partida sigue con los puntos que le quedan a cada jugador, una vez restados los puntos invertidos en la jugada anterior. En caso de empate, la ficha no se mueve. Si un jugador agota los puntos, el otro puede seguir jugando (ahora con 1 solo punto ya gana el turno). Si los dos terminan los puntos sin ganar la partida, se puede decidir que quien tiene la ficha más cerca del objetivo gana 1/2 punto, entendiendo que ganar una partida vale 1 punto. Quien llegue a 5 puntos ganará la ronda.

Una vez que haya practicado un poco el juego, seguro que le vendrá a la cabeza la siguiente pregunta: ¿cómo hay que jugar para ganar? Aquí no es pertinente preguntarse cuál de los dos jugadores tiene ventaja ya que juegan simultáneamente. Este es el punto clave: no se puede aplicar el conocido teorema de la teoría de juegos según el cual, en un juego finito para dos jugadores, sin intervención del azar y en el que no se puede hacer tablas, hay una estrategia ganadora para uno de los dos jugadores. Aquí, más bien parece lo contrario: si aplicamos una estrategia fácil de identificar por el otro jugador, éste no tardará en descubrirla y ganarnos... Parece, pues, que lo que hay que hacer es no aplicar ninguna estrategia (¿jugar al azar?), pero pronto verá que tampoco es eso, ya que el azar puro lleva a perder la mayoría de las veces.

Este es el tipo de juego que interesa a la teoría de juegos, porque se convierte en una buena situación para aprender a tomar decisiones sin conocer el comportamiento inmediato del otro jugador. Seguro que, si piensa un rato, encontrará ideas interesantes, no para ganar siempre, pero si para mejorar sus jugadas y quizás para ganar más de la mitad de las veces, que es una manera de ganar.


Problema / juego 2. Moviéndose por un polígono para llegar a 23.

Se trata de un juego de estrategia para dos jugadores que llamo, a falta de un nombre más original, llegar a 23, y que me dio a conocer, hace poco tiempo, el amigo Xavier Valls. Empezaremos con una variante más sencilla: Partimos de un triángulo con los vértices numerados con los números 1, 2 y 3. El primer jugador pone una ficha en un vértice del triángulo (el que quiera) y suma los puntos indicados por el vértice. El segundo jugador mueve la ficha a otro vértice y suma los puntos indicados. Así, van jugando alternativamente (siempre es obligado mover la ficha a otro vértice), y el primer jugador que llegue a 15, gana la partida. Si un jugador no puede jugar porque se ve obligado a superar el número de puntos a los que hay que llegar, pierde la partida. El juego es muy parecido a tener una pila de fichas y retirar alternativamente de 1 a 3, pero con una diferencia que, a veces, puede complicar las cosas: si un jugador ha sumado una cierta cantidad, el otro en la siguiente jugada no puede sumar esta misma cantidad.

Una vez tendrá resuelto el juego (este caso no presenta demasiada dificultad, y sirve para preparar el siguiente) cambie el tablero y dibuje un pentágono (con los vértices numerados del 1 al 5). Se juega de la misma manera, pero ahora gana el jugador que llega a 23 puntos.

Encontrar la estrategia ganadora en este caso es bastante más entretenido que antes, como se podrá comprobar. Una vez resuelto se puede pensar por qué no propongo pasar por un tablero en forma de cuadrado, o de cualquier otro polígono con un número par de vértices. Y si desea dedicar más tiempo, ahora la generalización no es nada sencilla, piense qué pasaría con otros tableros con un número mayor, pero siempre impar, de vértices.

Otro juego similar, consiste en jugar con un dado en lugar de sobre los vértices de un polígono. El primer jugador indica los puntos de su jugada dejando el dado sobre la mesa de manera que el número de la cara superior indica los puntos. El otro jugador gira el dado 90º en cualquier sentido, y el número de puntos de su jugada queda indicado por la nueva cara superior. Y así sucesivamente, hasta llegar a la cantidad establecida.

Obsérvese que en el caso del dado un jugador no puede jugar el mismo número de puntos que el anterior, como sucedía antes con los vértices del polígono, ni tampoco el complementario hasta 7 (ya que en cualquier dado –cúbico- las caras opuestas suman 7), lo que complica considerablemente la búsqueda de la estrategia ganadora. Sin embargo, esta existe y seguro que la sabrá encontrar.

También en el caso del dado hay una generalización: ¿qué sucede si el dado es un poliedro regular cualquiera? Ahora no hablaremos de giro de 90º, sino de mover el dado a una cara contigua.


Problema / juego 3. Traffic light o el juego del semáforo.

Este es un interesante juego de estrategia, como los anteriores para dos jugadores, que me enseñó Sergi Belmonte hace poco tiempo y que pertenece a esta gran colección de juegos que llamamos de alineación. Todos estos juegos, que pertenecen a la más antigua tipología junto con los llamados juegos de carreras, tienen por objetivo alinear fichas, es decir, disponer seguidas sobre una recta, tres, cuatro, cinco o, incluso, seis fichas de un mismo color. Tic-tac-toe, Tres en raya, Conecta 4, Go bang, Pente, Marro (de 6, de 9 o de 12), Six o Quarto, son algunos de los juegos de esta tipología.

El nombre del juego es el semáforo, debido a que combina fichas verdes, amarillas y rojas y que las primeras se cambian por las segundas y éstas por las terceras. Así, en un tablero cuadrado de 9 casillas, es decir formando un cuadrado de 3 x 3, como en el tic-tac-toe, dos jugadores a su turno pueden realizar una de las tres acciones:

- Colocar una ficha verde en una casilla vacía cualquiera.
- Cambiar una ficha verde ya colocada por una amarilla
- Cambiar una ficha amarilla ya colocada por una roja.

Cuando un jugador, al realizar su jugada, consigue que tres fichas de un mismo color estén alineadas, gana la partida. ¿Sabría encontrar una estrategia que permita ganar a uno de los dos (el primero o el segundo) jugadores?

Para un tablero de 3x3 hallar la estrategia no es demasiado difícil. Ahora bien, si cambiamos el tablero y lo hacemos sólo un poco más grande, por ejemplo, un rectángulo de 3x4, las cosas se complican mucho. Cuando el tablero se hace mayor hay que recordar que el objetivo es siempre alinear tres fichas seguidas, es decir, sin dejar ningún espacio entre ellas.


Problema / juego 4: Uno reparte y el otro escoge.

El último juego de hoy vuelve a ser un juego de estrategia para dos jugadores que propuso el divulgador de las matemáticas Eduardo Sáenz de Cabezón, en la excelente conferencia que impartió en el Cosmo Caixa el pasado mes de junio con motivo de la clausura del curso de Estalmat en la que celebramos los 15 años de existencia en Cataluña de este magnífico proyecto para jóvenes talentos matemáticos.

El juego es una posible simulación del conocido problema de cómo repartir una cierta cantidad dividida en partes diferentes, entre dos personas, cuando ambas intentan quedarse con la parte más grande. Se trata de un juego de estrategia para dos jugadores que se puede enunciar de la siguiente manera: Fijamos una cantidad de fichas impar mayor que 6, por ejemplo 29. Uno de los jugadores distribuye como quiere esta cantidad en un panel de seis casillas, de manera que en todas haya al menos una ficha. Por ejemplo:

El otro jugador realiza la primera jugada, eligiendo una de las dos casillas de los extremos y cogiendo todas las fichas de la casilla elegida (es decir, puede tomar 4 fichas -casilla de la izquierda, o 6 fichas -casilla de la derecha). Ahora juega el otro jugador que coge todas las fichas de una de las dos casillas de los extremos (podría elegir entre 5 o 6, si el primero hubiera cogido 4, o bien entre 4 o 7, si el primer hubiera cogido 6. El juego sigue hasta que se acaban las fichas y el jugador que obtiene más fichas es el ganador del juego.

¿Sabría encontrar una estrategia ganadora para el jugador que empieza a retirar fichas, sea cual sea la distribución dispuesta por el otro jugador? De inicio sorprende un poco que exista una estrategia general que no dependa de la distribución, es decir, que sea válida para cualquier caso, pero pronto verá que, efectivamente, es así. Cuando la encuentre comprenderá porque al inicio hemos dicho, para que el juego tenga sentido, que el número total de fichas debe ser impar y también porque el número de casillas del tablero debe ser par.