Divisibilidad y familias de números

Los números perfectos, como los
hombres perfectos, son algo
muy extraño.

R. Descartes (1596-1650)

Descomponer un número en producto de otros (en particular en producto de números primos) es la base para poder estudiar los números enteros y sus relaciones. Las relaciones de divisibilidad dan lugar a las principales familias de números, como son, además de los primos, los números perfectos, los semiperfectos, los abundantes, los amigos o los felices.

Nociones y propiedades elementales de la divisibilidad

Recordemos que un número entero positivo a es divisible por b (o es un múltiplo de b), si existe otro entero c de modo que a = b · c. Esto es equivalente a decir que al realizar la división entera (también llamada división euclídea) de a entre b, el resto de dicha división es 0. Cuando se produce la situación anterior, también decimos que b es un divisor de a y que a es un múltiplo de b.

Todo entero positivo tiene un número infinito de múltiplos y un número finito de divisores mayor que 0 (salvo el 1, que tiene solo un divisor, el resto de números tienen, por lo menos, dos divisores). Los números con exactamente dos divisores se llaman números primos y constituyen uno de los subconjuntos de los enteros positivos más importantes para la teoría de números. El resto de números enteros reciben el nombre de números compuestos, excepto el 1, que por sus características no se considera ni primo ni compuesto.

Se utilizan diversas expresiones que son equivalentes: “b es un divisor de a”, “b divide a a”, “a es un múltiplo de b”.  Obsérvese que de la igualdad a = b · c, se deduce que c también es un divisor de a.

Cantidad de divisores de un número y números perfectos

Como hemos mencionado, todo entero positivo mayor que 1 tiene un número de divisores finito mayor que 1. Para computar el número de divisores de un número N, podríamos primero determinarlos todos, pero hay una manera directa de conocer esta cantidad sin necesidad de calcularlos, a partir de la estructura de su descomposición en factores primos.

Recordemos que todo entero positivo se puede descomponer de manera única en producto de factores primos. Supongamos que:    



Entonces el número de divisores de N = (a1 +1) · (a2+1) · (a3+1) · … · (ar+1).

Esta fórmula se obtiene al considerar que la descomposición en factores primos de cualquier divisor de N estará formada por algunos de los factores primos que aparecen en la descomposición de N. Cualquier combinación posible de estos factores dará un divisor de N (si no consideramos ninguno obtenemos el 1 y si los consideramos todos obtenemos N). Si un factor p aparece en N elevado a una cierta potencia k, en un determinado divisor, este factor puede no aparecer (equivale a aparecer elevado a 0), puede aparecer elevado a 1, a 2, hasta k, es decir, para cada factor hay k+1 posibilidades. De aquí que la fórmula se obtenga multiplicando cada uno de los exponentes de los distintos primos de la descomposición de N, a los que previamente les hemos sumado una unidad.

Obsérvese que, en general, la fórmula anterior dará como resultado un número par, para lo cual basta que alguno de los ai sea impar. Sólo cuando todos los ai sean pares, al sumar 1 a cada uno de ellos obtendremos un producto de números impares, cuyo resultado será impar.

Problema: Un gran hotel tiene 400 habitaciones numeradas del 1 al 400 y en él trabajan 400 personas que numeramos también del 1 al 400. Todas las persones se dedican al siguiente divertimento: La 1ª persona abre todas las puertas de las habitaciones; la 2ª cierra todas las puertas pares; la 3ª cambia (abre si está cerrada o cierra si está abierta) todas las puertas múltiplo de 3 y así sucesivamente hasta la última persona que solo cambiará la puerta de la habitación 400. Al final de este juego, ¿qué habitaciones quedarán con la puerta abierta?

Tanto la consideración anterior como el problema propuesto, concuerdan con la idea de que los divisores de un número van a pares (de acuerdo con la definición de divisor, para cada divisor de un número existe otro), por lo que, la mayoría de enteros positivos tienen una cantidad de divisores par. Los únicos números que tienen una cantidad de divisores impar son los cuadrados perfectos. En efecto, si q es un cuadrado, existe c tal que c · c = q, es decir, c es un divisor cuyo par asociado es el mismo y dado que esto sólo sucede con un solo divisor (que hemos llamado c), el número de divisores de q será impar. En realidad, con esta observación obtenemos una definición distinta y equivalente de lo que es un cuadrado perfecto; en efecto, decimos que un cuadrado perfecto es aquel número cuya cantidad de divisores es impar.

Todos los divisores de un número distintos del número se llaman divisores propios. Un tipo de números muy especiales, que reciben el nombre de números perfectos, son aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores propios. Los primeros números perfectos son:



Los números perfectos eran ya bien conocidos de los antiguos griegos. En el libro IX de los Elementos de Euclides se incluye una magnífica propiedad que relaciona estos números con los llamados primos de Mersenne, números que son de la forma, 2^p – 1, a través de los números triangulares.

Recordemos que un número triangular es el que se obtiene sumando los primeros números naturales; la sucesión de triangulares empieza por: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28… así, el número triangular enésimo es: 1 + 2 + 3 +….+ n = n (n + 1) / 2.

El enunciado de la propiedad mencionada es el siguiente:

Si N = 2^p – 1 es un número primo, entonces el enésimo número triangular, que es, N (N+1) / 2 es un número perfecto.

Por ejemplo: 31 = 2⁵ – 1, es un primo de Mersenne y el número triangular que ocupa el lugar 31 es 31 · 32 / 2 = 496. Dado que 496 se puede expresar como 16 · 31, sus divisores propios son fáciles de calcular: 1, 2, 4, 8, 16 (que suman 31) y 31, 31·2, 31·4, 31·8 (que suman 31·15, por lo que la suma de los divisores propios es 31·16 = 496 y este número es perfecto).

Euclides obtuvo la expresión 2^n-1 · (2ⁿ – 1), y razonó que para n primo se obtenía un número perfecto par:

Para n = 2: 2¹ · (2² – 1) = 6
Para n = 3: 2² · (2³ – 1) = 28
Para n = 5: 2⁴ · (2⁵ – 1) = 496
Para n = 7: 2⁶ · (2⁷ – 1) = 8128

No obstante, 2¹¹ – 1 = 2047 = 23 · 89 no es primo y por tanto n = 11 no genera un número perfecto. Esta suposición errónea de Euclides puede venir del hecho que si bien es cierto que si 2^p – 1 es primo entonces p es primo, el recíproco no es cierto.

El quinto número perfecto tiene ya 8 cifras: 33 550 336. Los dos números perfectos siguientes, fueron hallados por Cataldi en 1603 y son: 2¹⁶ · (2¹⁷ – 1) = 8 589 869 056 y 2¹⁸ · (2¹⁹ – 1) = 137 438 691 328. Euler demostró que todos los números perfectos se generan a partir de la expresión hallada por Euclides. Obsérvese que todos los números perfectos mencionados son pares (y además terminan en 6 o en 8).

Alrededor del estudio de los números perfectos, como sucede en la mayoría de los temas de la teoría de números, existen diversas cuestiones abiertas, es decir, conjeturas no demostradas ni refutadas. Por ejemplo, hasta 2017 se han encontrado alrededor de 50 números perfectos, pero su infinitud no está demostrada todavía. Todos los perfectos hallados hasta ahora son pares, pero no se ha demostrado que no existan perfectos impares. Sin embargo, en el caso que existiera alguno, se sabe que debería cumplir restricciones importantes, entre ellas, tener más de 300 cifras y más de 8 factores primos distintos, uno de los cuales mayor que 10⁷.

Otras familias de números

A partir de la definición de números perfectos y de las múltiples cuestiones surgidas en su estudio, se han establecido otras familias de números todas ellas relacionadas con los divisores y la suma de los mismos. Algunas de estas familias son:

Números abundantes (o excesivos): son aquellos números que son menores a la suma de sus divisores propios. Los primeros abundantes son 12, 18, 24 y 30. Se ha demostrado que todo múltiplo de 6 es abundante y que, en general, tanto los múltiplos de un número perfecto como de un número abundante, son abundantes.

A diferencia de lo que ocurre con los números perfectos, hay una infinitud de abundantes impares. El menor de ellos es 945 y del hecho que todos los múltiplos impares de 945 también son abundantes, se deriva la infinitud de los números abundantes impares.

Números semiperfectos: son aquellos que son iguales a la suma de algunos de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 = 1 + 2 + 3 + 6, y 18 = 1 + 2 + 6 + 9. Es evidente que todos los semiperfectos son abundantes (o perfectos, si se incluyen estos en la definición de semiperfectos). Sin embargo, la otra implicación es falsa. La lista de números abundantes y no semiperfectos empieza con los números 70, 836 y 4030. Por otra parte, se ha probado que no hay abundantes impares que no sean semiperfectos hasta 10¹⁹.

Números amigos: Dos números a y b son amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores propios del otro. El menor par de números amigos, 220 y 284, ya era conocido por los antiguos pitagóricos que asociaban a este par de números propiedades mágicas. En efecto, se trata de un par de números amigos ya que, por un lado, la suma de los divisores propios de 220 es: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284, y por otro, la suma de los divisores de 284 es: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Los cinco primeros pares de números amigos son: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368).

Diversos matemáticos árabes hicieron descubrimientos relevantes en relación con estos números. En concreto el iraquí Thābit ibn Qurra, en el siglo IX, propuso y demostró la siguiente conjetura que daba un método para hallar números amigos:



son tres números primos (n >1 entero), entonces resulta que los dos números: 2ⁿ · p · q , 2ⁿ · r, forman un par de números amigos. Esta fórmula da, para n = 2 el par (220, 284), para n = 4 el par (17296, 18416) y para n = 7 el par (9363584, 9437056), pero no se han encontrado otros pares con esta configuración, ya que el hecho de que p, q, r, deban ser primos los tres impone una restricción muy fuerte. Los números de la forma 3 · 2ⁿ – 1 reciben el nombre de números de Thabit.

Números sociables: un conjunto de enteros tales que el segundo sea igual a la suma de los divisores del primero, el tercero sea igual a la suma de los divisores del segundo y así sucesivamente hasta el primero que debe ser igual a la suma de los divisores del último, forman un conjunto (o mejor, un ciclo) de números sociables.

La cantidad de números equivale al orden del ciclo. Así, todo ciclo de orden uno corresponde a un número perfecto y todo ciclo de orden dos corresponde a un par de números amigos. No se conocen ciclos de orden 3, pero sí de órdenes mayores.

Por ejemplo: 1 264 460, 1 547 860, 1 727 636, 1 305 184, forma un ciclo de orden 4, mientras que: 12 496, 14 288,15 472, 14 536, 14 264, es el ciclo de orden 5 formado por los enteros positivos menores que se conoce.

Si elegimos un numero compuesto cualquiera, podemos definir la sucesión tal que cada término es la suma de los divisores propios del término anterior. Puede suceder que la sucesión acabe en 1 (cosa que sucederá siempre que se llegue a un número primo), forme un ciclo (se repita uno de los números) o no acabe nunca (todos los números de la sucesión sean distintos). Se desconoce si la sucesión siempre acaba (en 1 o en un ciclo) o no.

Aunque las familias que hemos expuesto hasta aquí son algunas de las más relevantes, hay todavía otras que han dado lugar a estudios interesantes en teoría de números, como por ejemplo la de los números felices, que citamos por el hecho curioso de que el año en el que estamos, 2019, y en el que se ha iniciado esta web y se han publicado los primeros libros de la colección Desafíos Matemáticos, corresponde a un elemento de esta familia. Decimos que un número es feliz si al sumar los cuadrados de sus cifras y reiterar el proceso con el número obtenido, llegamos a 1 en un número finito de pasos. Entonces, si aplicamos el procedimiento a 2019 resulta que 2² + 0² + 1² + 9² = 4 + 1 + 81 = 86. Repetimos de nuevo: 8² + 6² = 64 + 36 = 100. Finalmente, repetimos: 1² + 0² + 0² = 1, lo que nos permite afirmar que 2019 es un número feliz.